3 วิธีในการคำนวณความเร็วทันที

2024 ผู้เขียน: Jason Gerald | [email protected]. แก้ไขล่าสุด: 2024-01-16 20:01

ความเร็วถูกกำหนดให้เป็นความเร็วของวัตถุในทิศทางที่แน่นอน ในหลายสถานการณ์ ในการหาความเร็ว เราสามารถใช้สมการ v = s/t โดยที่ v เท่ากับความเร็ว s เท่ากับระยะทางทั้งหมดที่วัตถุเคลื่อนที่จากตำแหน่งเริ่มต้น และ t เท่ากับเวลา อย่างไรก็ตาม วิธีนี้ให้ค่าความเร็ว "เฉลี่ย" ของวัตถุเหนือการกระจัดเท่านั้น คุณสามารถใช้แคลคูลัสเพื่อคำนวณความเร็วของวัตถุ ณ จุดใดก็ได้ตามการกระจัดของวัตถุ ค่านี้เรียกว่า "ความเร็วทันที" และสามารถคำนวณได้โดยสมการ วี = (ds)/(dt) หรืออีกนัยหนึ่งคืออนุพันธ์ของสมการความเร็วเฉลี่ยของวัตถุ

ขั้นตอน

วิธีที่ 1 จาก 3: การคำนวณความเร็วทันที

ขั้นตอนที่ 1 เริ่มด้วยสมการความเร็วของการกระจัดของวัตถุ

เพื่อให้ได้ค่าความเร็วชั่วขณะของวัตถุ อันดับแรกเราต้องมีสมการที่อธิบายตำแหน่งของวัตถุนั้น (ในแง่ของการกระจัดของวัตถุ) ณ จุดหนึ่งในช่วงเวลาหนึ่ง ซึ่งหมายความว่าสมการต้องมีตัวแปร NS (ซึ่งยืนอยู่คนเดียว) ข้างหนึ่งและ NS ในทางกลับกัน (แต่ไม่จำเป็นต้องเป็นแบบสแตนด์อโลน) เช่นนี้

s = -1.5t²+10t+4

• ในสมการตัวแปรคือ:

  การกระจัด = s. นั่นคือระยะทางที่วัตถุเคลื่อนที่จากจุดเริ่มต้น ตัวอย่างเช่น หากวัตถุเคลื่อนที่ไปข้างหน้า 10 เมตรและถอยหลัง 7 เมตร ระยะทางทั้งหมดที่เดินทางคือ 10 - 7 = 3 เมตร (ไม่ใช่ 10 + 7 = 17 เมตร)

  เวลา = t. ตัวแปรนี้อธิบายตนเองได้ มักจะแสดงเป็นวินาที # หาอนุพันธ์ของสมการ อนุพันธ์ของสมการเป็นอีกสมการหนึ่งที่สามารถให้ค่าความชันจากจุดใดจุดหนึ่งได้ ในการหาอนุพันธ์ของสูตรสำหรับการกระจัดของวัตถุ หาฟังก์ชันโดยใช้กฎทั่วไปต่อไปนี้: ถ้า y = a*x , อนุพันธ์ = a*n*x^n-1. กฎนี้ใช้กับองค์ประกอบใดก็ตามที่อยู่ด้าน "t" ของสมการ

  

• กล่าวอีกนัยหนึ่ง ให้เริ่มต้นด้วยการลงจากด้าน "t" ของสมการจากซ้ายไปขวา ทุกครั้งที่คุณถึงค่า "t" ให้ลบ 1 จากค่าเลขชี้กำลังแล้วคูณทั้งหมดด้วยเลขชี้กำลังเดิม ค่าคงที่ใดๆ (ตัวแปรที่ไม่มี "t") จะหายไปเนื่องจากถูกคูณด้วย 0 กระบวนการนี้ไม่ได้ยากอย่างที่คิด ลองมาสมการในขั้นตอนข้างต้นเป็นตัวอย่าง:

s = -1.5t²+10t+4

(2)-1.5t^(2-1)+ (1)10t^{1 - 1} + (0)4t⁰

-3t¹ + 10t⁰

- 3t + 10

ขั้นที่ 2. แทนที่ตัวแปร "s" ด้วย "ds/dt

"เพื่อแสดงว่าสมการใหม่ของคุณเป็นอนุพันธ์ของสมการก่อนหน้า ให้แทนที่ "s" ด้วย "ds/dt" ในทางเทคนิค สัญกรณ์นี้หมายถึง "อนุพันธ์ของ s เทียบกับ t" วิธีที่ง่ายกว่าในการทำความเข้าใจสิ่งนี้คือ ds /dt คือค่าของความชัน (ความชัน) ที่จุดใดก็ได้ในสมการแรก เช่น เพื่อกำหนดความชันของเส้นที่ลากจากสมการ s = -1.5t² + 10t + 4 ที่ t = 5 เราแทนค่า "5" ลงในสมการอนุพันธ์ได้

• ในตัวอย่างที่ใช้ สมการอนุพันธ์อันดับแรกจะมีลักษณะดังนี้:

ds/วินาที = -3t + 10

ขั้นตอนที่ 3 แทนค่าของ t ลงในสมการใหม่เพื่อให้ได้ค่าความเร็วทันที

ตอนนี้คุณมีสมการอนุพันธ์แล้ว มันง่ายที่จะหาความเร็วชั่วขณะ ณ จุดใดก็ได้ สิ่งที่คุณต้องทำคือเลือกค่าของ t แล้วแทนค่าลงในสมการอนุพันธ์ของคุณ ตัวอย่างเช่น หากคุณต้องการหาความเร็วทันทีที่ t = 5 คุณสามารถแทนที่ค่าของ t ด้วย "5" ในสมการอนุพันธ์ ds/dt = -3 + 10 จากนั้นแก้สมการดังนี้:

ds/วินาที = -3t + 10

ds/วินาที = -3(5) + 10

ds/วินาที = -15 + 10 = - 5 เมตร/วินาที

โปรดทราบว่าหน่วยที่ใช้ด้านบนคือ "เมตร/วินาที" เนื่องจากสิ่งที่เราคำนวณคือการกระจัดเป็นเมตรและเวลาเป็นวินาที (วินาที) และความเร็วโดยทั่วไปคือการกระจัดในช่วงเวลาหนึ่ง หน่วยนี้จึงเหมาะสมที่จะใช้

วิธีที่ 2 จาก 3: การประมาณความเร็วแบบกราฟิกทันที

ขั้นตอนที่ 1 วาดกราฟการกระจัดของวัตถุในช่วงเวลาหนึ่ง

ในส่วนข้างต้น อนุพันธ์ถูกกล่าวถึงเป็นสูตรสำหรับการค้นหาความชัน ณ จุดที่กำหนดสำหรับสมการที่คุณได้รับ อันที่จริง หากคุณแทนการกระจัดของวัตถุเป็นเส้นบนกราฟ "ความชันของเส้นตรงทุกจุดจะเท่ากับค่าของความเร็วชั่วขณะของวัตถุ ณ จุดนั้น"

• ในการอธิบายการกระจัดของวัตถุ ให้ใช้ x แทนเวลา และ y แทนการกระจัด จากนั้นวาดจุด แทนค่า t ลงในสมการของคุณ ดังนั้น หาค่าของ s สำหรับกราฟของคุณ ทำเครื่องหมาย t, s ในกราฟเป็น (x, y)
• โปรดทราบว่ากราฟของคุณสามารถครอบคลุมด้านล่างแกน x หากเส้นที่แสดงการเคลื่อนที่ของวัตถุของคุณอยู่ต่ำกว่าแกน x แสดงว่าวัตถุนั้นเคลื่อนถอยหลังจากตำแหน่งเริ่มต้น โดยทั่วไป กราฟของคุณจะไม่ถึงด้านหลังของแกน y เนื่องจากเราไม่ได้วัดความเร็วของวัตถุที่เคลื่อนที่ผ่าน!

ขั้นตอนที่ 2 เลือกจุดที่อยู่ติดกัน P และ Q ในบรรทัด

เพื่อให้ได้ความชันของเส้นตรงที่จุด P เราสามารถใช้กลอุบายที่เรียกว่า "การจำกัด" การหาขีดจำกัดนั้นเกี่ยวข้องกับจุดสองจุด (P และ Q ซึ่งเป็นจุดใกล้เคียง) บนเส้นโค้งและค้นหาความชันของเส้นโดยการเชื่อมต่อหลาย ๆ ครั้งจนกระทั่งระยะทาง P และ Q เข้าใกล้กันมากขึ้น

สมมติว่าเส้นการกระจัดของวัตถุมีค่า (1, 3) และ (4, 7) ในกรณีนี้ หากเราต้องการหาความชันที่จุด (1, 3) เราสามารถกำหนดได้ (1, 3) = ป และ (4, 7) = Q.

ขั้นตอนที่ 3 ค้นหาความชันระหว่าง P และ Q

ความชันระหว่าง P และ Q คือความแตกต่างของค่า y สำหรับ P และ Q ตามความแตกต่างของค่าแกน x สำหรับ P และ Q กล่าวอีกนัยหนึ่ง H = (y_NS - y_NS)/(NS_NS - NS_NS) โดยที่ H คือความชันระหว่างจุดสองจุด ในตัวอย่างของเรา ค่าของความชันระหว่าง P และ Q คือ

H = (y_NS- y_NS)/(NS_NS- NS_NS)

H = (7 - 3)/(4 - 1)

H = (4)/(3) = 1.33

ขั้นตอนที่ 4 ทำซ้ำหลาย ๆ ครั้งโดยขยับ Q ให้เข้าใกล้ P

เป้าหมายของคุณคือลดระยะห่างระหว่าง P และ Q ให้คล้ายกับจุด ยิ่งระยะห่างระหว่าง P และ Q ใกล้ขึ้น ความชันของเส้นตรงที่จุด P ยิ่งใกล้ ทำเช่นนี้หลายๆ ครั้งโดยใช้สมการที่ใช้เป็นตัวอย่าง โดยใช้จุด (2, 4.8), (1.5, 3.95) และ (1.25, 3.49) เป็น Q และจุดเริ่มต้น (1, 3) เป็น P:

ถาม = (2, 4.8):

H = (4.8 - 3)/(2 - 1)

H = (1.8)/(1) = 1.8

ถาม = (1.5, 3.95):

H = (3.95 - 3)/(1.5 - 1)

H = (.95)/(.5) = 1.9

ถาม = (1.25, 3.49):

H = (3.49 - 3)/(1.25 - 1)

H = (.49)/(.25) = 1.96

ขั้นตอนที่ 5. ประมาณความชันของเส้นในระยะที่น้อยมาก

เมื่อ Q เข้าใกล้ P มากขึ้น H จะเข้าใกล้ค่าความชันของจุด P มากขึ้นเรื่อยๆ ในที่สุด เมื่อมันถึงค่าที่น้อยมาก H เท่ากับความชันของ P เนื่องจากเราไม่สามารถวัดหรือคำนวณระยะทางที่น้อยมากได้ เราสามารถประมาณความชันบน P ได้ก็ต่อเมื่อชัดเจนจากจุดที่เรากำลังพยายามอยู่

• ในตัวอย่าง เมื่อเราขยับ Q ให้เข้าใกล้ P มากขึ้น เราจะได้ค่า 1.8, 1.9 และ 1.96 สำหรับ H เนื่องจากตัวเลขเหล่านี้ใกล้เคียงกับ 2 เราสามารถพูดได้ว่า 2 คือความชันโดยประมาณของ P
• จำไว้ว่าความชันที่จุดใดก็ตามบนเส้นตรงนั้นเท่ากับอนุพันธ์ของสมการของเส้นตรง เนื่องจากเส้นที่ใช้แสดงการกระจัดของวัตถุในช่วงเวลาหนึ่ง และเนื่องจากดังที่เราเห็นในส่วนก่อนหน้านี้ ความเร็วชั่วขณะของวัตถุเป็นอนุพันธ์ของการกระจัดของวัตถุ ณ จุดที่กำหนด เราจึงสามารถระบุได้ว่า "2 เมตร/วินาที " คือค่าโดยประมาณของความเร็วชั่วขณะที่ t = 1

วิธีที่ 3 จาก 3: ตัวอย่างคำถาม

ขั้นตอนที่ 1 หาค่าของความเร็วชั่วขณะที่ t = 4 จากสมการการกระจัด s = 5t³ - 3t² +2t+9.

ปัญหานี้เหมือนกับตัวอย่างในส่วนแรก ยกเว้นว่าสมการนี้เป็นสมการลูกบาศก์ ไม่ใช่สมการกำลัง เราจึงสามารถแก้ปัญหานี้ได้ในลักษณะเดียวกัน

• อันดับแรก เราหาอนุพันธ์ของสมการ:

s = 5t³- 3t²+2t+9

s = (3)5t^{(3 - 1)} - (2)3t^{(2 - 1)} + (1)2t^{(1 - 1) + (0)9t0 - 1}

15t⁽²⁾ - 6t⁽¹⁾ + 2t⁽⁰⁾

15t⁽²⁾ - 6t + 2

• จากนั้นป้อนค่าของ t(4):

s = 15t⁽²⁾- 6t + 2

15(4)⁽²⁾- 6(4) + 2

15(16) - 6(4) + 2

240 - 24 + 2 = 22 เมตร/วินาที

ขั้นตอนที่ 2 ใช้การประมาณแบบกราฟิกเพื่อค้นหาความเร็วทันทีที่ (1, 3) สำหรับสมการการกระจัด s = 4t² - NS.

สำหรับปัญหานี้ เราจะใช้ (1, 3) เป็นจุด P แต่เราต้องกำหนดจุดอื่นที่อยู่ติดกับจุดนั้นเป็นจุด Q จากนั้นเราต้องกำหนดค่าของ H และทำการประมาณการ

• ก่อนอื่น ให้หาค่าของ Q ก่อน ที่ t = 2, 1.5, 1.1 และ 1.01

s = 4t²- NS

เสื้อ = 2:

s = 4(2)²- (2)

4(4) - 2 = 16 - 2 = 14 ดังนั้น ถาม = (2, 14)

เสื้อ = 1.5:

s = 4(1.5)² - (1.5)

4(2.25) - 1.5 = 9 - 1.5 = 7.5 ดังนั้น คิว = (1.5, 7.5)

เสื้อ = 1.1:

s = 4(1.1)² - (1.1)

4(1.21) - 1.1 = 4.84 - 1.1 = 3.74 ดังนั้น ถาม = (1.1, 3.74)

เสื้อ = 1.01:

s = 4(1.01)² - (1.01)

4(1.0201) - 1.01 = 4.0804 - 1.01 = 3.0704 ดังนั้น ถาม = (1.01, 3.0704)

• จากนั้นกำหนดค่าของ H:

ถาม = (2, 14):

H = (14 - 3)/(2 - 1)

H = (11)/(1) =

ขั้นตอนที่ 11

ถาม = (1.5, 7.5):

H = (7.5 - 3)/(1.5 - 1)

H = (4.5)/(.5) =

ขั้นตอนที่ 9

ถาม = (1.1, 3.74):

H = (3.74 - 3)/(1.1 - 1)

H = (.74)/(.1) = 7.3

ถาม = (1.01, 3.0704):

H = (3.0704 - 3)/(1.01 - 1)

H = (.0704)/(.01) = 7.04

• เนื่องจากค่าของ H ใกล้เคียงกับ 7 มาก เราจึงสามารถระบุได้ว่า 7 เมตร/วินาที คือความเร็วชั่วขณะโดยประมาณที่ (1, 3)

เคล็ดลับ

• ในการหาค่าความเร่ง (การเปลี่ยนแปลงของความเร็วเมื่อเวลาผ่านไป) ให้ใช้วิธีการในส่วนแรกเพื่อหาสมการอนุพันธ์ของฟังก์ชันการกระจัด จากนั้นสร้างสมการที่ได้รับอีกครั้ง คราวนี้จากสมการที่ได้รับ นี่จะให้สมการในการหาความเร่ง ณ เวลาใดเวลาหนึ่ง สิ่งที่คุณต้องทำคือป้อนค่าเวลาของคุณ
• สมการที่เกี่ยวข้องกับค่าของ Y (การกระจัด) ถึง X (เวลา) อาจง่ายมาก เช่น Y= 6x + 3 ในกรณีนี้ ค่าความชันเป็นค่าคงที่ และไม่จำเป็นต้องหาอนุพันธ์มาคำนวณ โดยที่ตามสมการของเส้นตรง Y = mx + b จะเท่ากับ 6
• การกระจัดคล้ายกับระยะทาง แต่มีทิศทาง ดังนั้นการกระจัดจึงเป็นปริมาณเวกเตอร์ ในขณะที่ระยะทางเป็นปริมาณสเกลาร์ ค่าการกระจัดอาจเป็นค่าลบ แต่ระยะทางจะเป็นบวกเสมอ