6 วิธีในการแยกตัวประกอบพหุนามดีกรีที่สอง (สมการกำลังสอง)

2024 ผู้เขียน: Jason Gerald | [email protected]. แก้ไขล่าสุด: 2024-01-19 22:14

พหุนามประกอบด้วยตัวแปร (x) ที่มีกำลัง เรียกว่าดีกรี และพจน์และ/หรือค่าคงที่หลายคำ การแยกตัวประกอบพหุนามหมายถึงการแยกสมการออกเป็นสมการที่ง่ายกว่าซึ่งสามารถคูณได้ ทักษะนี้ใช้พีชคณิต 1 ขึ้นไป และอาจเข้าใจยากหากทักษะทางคณิตศาสตร์ของคุณไม่อยู่ในระดับนี้

ขั้นตอน

เริ่ม

ขั้นตอนที่ 1 ตั้งสมการของคุณ

รูปแบบมาตรฐานสำหรับสมการกำลังสองคือ:

ขวาน² + bx + c = 0

เริ่มต้นด้วยการเรียงลำดับพจน์ในสมการของคุณจากกำลังสูงสุดไปต่ำสุด เช่นเดียวกับในรูปแบบมาตรฐานนี้ ตัวอย่างเช่น:

6 + 6x² + 13x = 0

เราจะจัดลำดับสมการนี้ใหม่เพื่อให้ทำงานได้ง่ายขึ้นโดยเพียงแค่ย้ายเงื่อนไข:

6x² + 13x + 6 = 0

ขั้นตอนที่ 2 ค้นหาฟอร์มแฟคเตอร์โดยใช้วิธีใดวิธีหนึ่งต่อไปนี้

การแยกตัวประกอบผลลัพธ์พหุนามเป็นสมการที่ง่ายกว่าสองสมการที่สามารถคูณเพื่อสร้างพหุนามดั้งเดิมได้:

6x² + 13x + 6 = (2x + 3)(3x + 2)

ในตัวอย่างนี้ (2x + 3) และ (3x + 2) คือตัวประกอบของสมการดั้งเดิมคือ 6x² +13x+6.

ขั้นตอนที่ 3 ตรวจสอบงานของคุณ

คูณปัจจัยที่คุณมี จากนั้นรวมเงื่อนไขเหมือนและคุณทำเสร็จแล้ว เริ่มกับ:

(2x + 3)(3x + 2)

มาลองคูณเงื่อนไขโดยใช้ PLDT (ก่อน - ภายนอก - ภายใน - สุดท้าย) ส่งผลให้:

6x² + 4x + 9x + 6

จากตรงนี้, เรารวมกันได้ 4x กับ 9x เพราะพวกมันเหมือนพจน์ เรารู้ว่าปัจจัยของเราถูกต้องเพราะเราได้สมการดั้งเดิม:

6x² + 13x + 6

วิธีที่ 1 จาก 6: การลองผิดลองถูก

หากคุณมีพหุนามที่ค่อนข้างง่าย คุณอาจสามารถค้นหาตัวประกอบเองได้เพียงแค่ดูจากพวกมัน ตัวอย่างเช่น หลังการฝึก นักคณิตศาสตร์หลายคนสามารถหาสมการ 4x. ได้² + 4x + 1 มีตัวประกอบเป็น (2x + 1) และ (2x + 1) เพียงแค่ดูบ่อยๆ (แน่นอนว่าจะไม่ง่ายสำหรับพหุนามที่ซับซ้อนกว่านี้) สำหรับตัวอย่างนี้ ลองใช้สมการที่ใช้ไม่บ่อย:

3x² + 2x - 8

ขั้นตอนที่ 1. เขียนรายการปัจจัยของเทอม a และเทอม c

การใช้รูปแบบสมการขวาน² + bx + c = 0 ระบุเงื่อนไข a และ c และจดปัจจัยที่ทั้งสองคำมี สำหรับ 3x² + 2x - 8 ความหมาย:

a = 3 และมีชุดของตัวประกอบ: 1 * 3

c = -8 และมีตัวประกอบสี่ชุด: -2 * 4, -4 * 2, -8 * 1 และ -1 * 8

ขั้นตอนที่ 2 เขียนวงเล็บสองชุดพร้อมช่องว่าง

คุณจะต้องเติมค่าคงที่ในช่องว่างที่คุณสร้างไว้สำหรับแต่ละสมการ:

(x)(x)

ขั้นตอนที่ 3 กรอกข้อมูลในช่องว่างด้านหน้า x ด้วยตัวประกอบที่เป็นไปได้สำหรับค่าของ a

สำหรับคำว่า a ในตัวอย่างของเรา 3x²มีความเป็นไปได้เพียงอย่างเดียวสำหรับตัวอย่างของเรา:

(3x)(1x)

ขั้นตอนที่ 4 เติมสองช่องว่างหลัง x ด้วยตัวประกอบคู่สำหรับค่าคงที่

สมมติว่าเราเลือก 8 และ 1 เขียนในนั้น:

(3x

ขั้นตอนที่ 8)(

ขั้นตอนที่ 1

ขั้นตอนที่ 5. กำหนดเครื่องหมาย (บวกหรือลบ) ระหว่างตัวแปร x และตัวเลข

อาจเป็นไปได้ที่จะค้นหาเครื่องหมายสำหรับค่าคงที่ทั้งนี้ขึ้นอยู่กับเครื่องหมายในสมการเดิม สมมติว่าเราเรียกค่าคงที่สองตัว h และ k สำหรับตัวประกอบทั้งสองของเรา:

ถ้าขวาน² + bx + c จากนั้น (x + h)(x + k)

ถ้าขวาน² - bx - c หรือ ax² + bx - c แล้ว (x - h)(x + k)

ถ้าขวาน² - bx + c แล้ว (x - h)(x - k)

ตัวอย่างเช่น 3x² + 2x - 8 เครื่องหมายคือ:(x - h)(x + k) ให้ปัจจัยสองประการแก่เรา:

(3x + 8) และ (x - 1)

ขั้นตอนที่ 6 ทดสอบตัวเลือกของคุณโดยใช้การคูณก่อนออกก่อน (PLDT)

การทดสอบอย่างรวดเร็วครั้งแรกคือการดูว่าระยะกลางมีค่าที่ถูกต้องเป็นอย่างน้อยหรือไม่ ถ้าไม่เช่นนั้น คุณอาจเลือกปัจจัยคผิด มาทดสอบคำตอบกัน:

(3x + 8)(x - 1)

โดยการคูณเราได้รับ:

3x² - 3x + 8x - 8

ทำให้สมการนี้ง่ายขึ้นโดยการเพิ่มพจน์ที่คล้ายกัน (-3x) และ (8x) เราจะได้:

3x² - 3x + 8x - 8 = 3x² + 5x - 8

ตอนนี้เรารู้แล้วว่าเราต้องใช้ปัจจัยที่ไม่ถูกต้อง:

3x² + 5x - 8 3x² + 2x - 8

ขั้นตอนที่ 7 เปลี่ยนการเลือกของคุณหากจำเป็น

ในตัวอย่างของเรา ให้ลอง 2 และ 4 แทน 1 และ 8:

(3x + 2)(x - 4)

ตอนนี้เทอม c ของเราคือ -8 แต่ผลิตภัณฑ์ภายนอก/ภายในของเรา (3x * -4) และ (2 * x) คือ -12x และ 2x ซึ่งรวมกันแล้วจะไม่สร้างเทอม b +2x ที่ถูกต้อง

-12x + 2x = 10x

10x 2x

ขั้นตอนที่ 8 ย้อนกลับคำสั่งหากจำเป็น

ลองสลับ 2 กับ 4:

(3x + 4)(x - 2)

ตอนนี้ เทอม c ของเรา (4 * 2 = 8) ถูกต้อง แต่ผลิตภัณฑ์ภายนอก/ภายในคือ -6x และ 4x หากเรารวมเข้าด้วยกัน:

-6x + 4x = 2x

2x -2x เราค่อนข้างใกล้เคียงกับ 2x ที่เราต้องการ แต่เครื่องหมายผิด

ขั้นตอนที่ 9 ตรวจสอบแท็กของคุณอีกครั้งหากจำเป็น

เราจะใช้ลำดับเดียวกัน แต่สลับสมการที่มีเครื่องหมายลบออก:

(3x - 4)(x + 2)

ตอนนี้คำว่า c ไม่มีปัญหา และผลิตภัณฑ์ภายนอก/ภายในปัจจุบันคือ (6x) และ (-4x) เพราะ:

6x - 4x = 2x

2x = 2x ตอนนี้เราสามารถใช้ค่าบวก 2x จากปัญหาเดิมได้ สิ่งเหล่านี้จะต้องเป็นปัจจัยที่ถูกต้อง

วิธีที่ 2 จาก 6: การสลายตัว

วิธีนี้จะระบุปัจจัยที่เป็นไปได้ทั้งหมดของเงื่อนไข a และ c และใช้เพื่อค้นหาปัจจัยที่ถูกต้อง หากตัวเลขมากเกินไปหรือดูเหมือนใช้เวลานาน ให้ใช้วิธีนี้ ลองใช้ตัวอย่าง:

6x² + 13x + 6

ขั้นตอนที่ 1. คูณเทอม a ด้วยเทอม c

ในตัวอย่างนี้ a คือ 6 และ c ก็คือ 6 ด้วย

6 * 6 = 36

ขั้นตอนที่ 2 รับเทอม b โดยแฟคตอริ่งและการทดสอบ

เรากำลังมองหาตัวเลขสองตัวที่เป็นปัจจัยของผลิตภัณฑ์ a * c ที่เราได้ระบุและบวกกับระยะ b (13)

4 * 9 = 36

4 + 9 = 13

ขั้นตอนที่ 3 แทนที่ตัวเลขสองตัวที่คุณได้รับในสมการของคุณจากการบวกเทอม b

ลองใช้ k และ h แทนตัวเลขสองตัวที่เรามี 4 และ 9:

ขวาน² + kx + hx + c

6x² + 4x + 9x + 6

ขั้นตอนที่ 4 แยกตัวประกอบพหุนามโดยการจัดกลุ่ม

จัดเรียงสมการเพื่อให้คุณหาตัวประกอบร่วมที่ยิ่งใหญ่ที่สุดของทั้งเทอมแรกและเทอมที่สองได้ กลุ่มของปัจจัยจะต้องเหมือนกัน เพิ่มตัวประกอบร่วมที่ยิ่งใหญ่ที่สุด และวางไว้ในวงเล็บถัดจากกลุ่มตัวประกอบ ผลลัพธ์คือปัจจัยสองประการของคุณ:

6x² + 4x + 9x + 6

2x(3x + 2) + 3(3x + 2)

(2x + 3)(3x + 2)

วิธีที่ 3 จาก 6: เล่นสามครั้ง

คล้ายกับวิธีการสลายตัว วิธีเล่นสามเท่าจะตรวจสอบปัจจัยที่เป็นไปได้ของการคูณเงื่อนไข a และ c และใช้ค่าของ b ลองใช้สมการตัวอย่างนี้:

8x² + 10x + 2

ขั้นตอนที่ 1. คูณเทอม a ด้วยเทอม c

เช่นเดียวกับวิธีแยกวิเคราะห์ วิธีนี้จะช่วยให้เราระบุผู้สมัครสำหรับเทอม b ในตัวอย่างนี้ a คือ 8 และ c คือ 2

8 * 2 = 16

ขั้นตอนที่ 2 ค้นหาตัวเลขสองตัวที่เมื่อคูณด้วยตัวเลขแล้วจะได้ตัวเลขนี้โดยมีผลรวมเท่ากับเทอม b

ขั้นตอนนี้เหมือนกับการแยกวิเคราะห์ – เราทดสอบและละทิ้งตัวเลือกสำหรับค่าคงที่ ผลคูณของเทอม a และ c คือ 16 และเทอม c คือ 10:

2 * 8 = 16

8 + 2 = 10

ขั้นตอนที่ 3 นำตัวเลขสองตัวนี้มาทดสอบโดยเสียบเข้ากับสูตรการเล่นสามเท่า

นำตัวเลขสองตัวของเราจากขั้นตอนก่อนหน้า - เรียกมันว่า h และ k - แล้วรวมเข้ากับสมการ:

((ขวาน + h)(ขวาน + k))/ a

เราจะได้รับ:

((8x + 8)(8x + 2)) / 8

ขั้นที่ 4. สังเกตว่าคำใดในสองเทอมในตัวเศษสามารถหารด้วย

ในตัวอย่างนี้ เราเห็นว่า (8x + 8) หรือ (8x + 2) หารด้วย 8 ลงตัว (8x + 8) หารด้วย 8 ลงตัวหรือไม่ เราจะหารเทอมนี้ด้วย a และปล่อยตัวประกอบอื่นๆ ไว้

(8x + 8) = 8(x + 1)

เทอมในวงเล็บคือค่าที่เหลือหลังจากเราหารด้วยเทอม a

ขั้นตอนที่ 5. ใช้ตัวประกอบร่วมที่ยิ่งใหญ่ที่สุด (GCF) ของหนึ่งหรือทั้งสองคำ หากมี

ในตัวอย่างนี้ เทอมที่สอง มี GCF เท่ากับ 2 เนื่องจาก 8x + 2 = 2 (4x + 1) รวมผลลัพธ์นี้กับคำศัพท์ที่คุณได้รับจากขั้นตอนก่อนหน้า นี่คือปัจจัยในสมการของคุณ

2(x + 1)(4x + 1)

วิธีที่ 4 จาก 6: ความแตกต่างของรากที่สอง

สัมประสิทธิ์บางตัวในพหุนามอาจเป็น 'กำลังสอง' หรือผลคูณของตัวเลขสองตัว การระบุกำลังสองเหล่านี้ช่วยให้คุณแยกตัวประกอบพหุนามหลายตัวได้เร็วยิ่งขึ้น ลองใช้สมการนี้:

27x² - 12 = 0

ขั้นตอนที่ 1 นำปัจจัยร่วมที่ยิ่งใหญ่ที่สุดออกมาถ้าเป็นไปได้

ในกรณีนี้ เราจะเห็นว่า 27 และ 12 หารด้วย 3 ลงตัว เราจึงได้:

27x² - 12 = 3(9x² - 4)

ขั้นตอนที่ 2 ระบุว่าสัมประสิทธิ์ของสมการของคุณเป็นเลขกำลังสองหรือไม่

หากต้องการใช้วิธีนี้ คุณต้องสามารถหารากที่สองของทั้งสองเทอมได้ (โปรดทราบว่าเราจะเพิกเฉยต่อเครื่องหมายลบ เนื่องจากตัวเลขเหล่านี้เป็นกำลังสอง จึงสามารถเป็นผลคูณของจำนวนบวกหรือค่าลบสองตัวได้)

9x² = 3x * 3x และ 4 = 2 * 2

ขั้นตอนที่ 3 ใช้รากที่สองที่คุณได้รับ จดปัจจัยต่างๆ

เราจะนำค่าของ a และ c จากขั้นตอนข้างต้น - a = 9 และ c = 4 จากนั้นหารากที่สอง - a = 3 และ c = 2 ผลลัพธ์คือสัมประสิทธิ์ของสมการตัวประกอบ:

27x² - 12 = 3(9x² - 4) = 3(3x + 2)(3x - 2)

วิธีที่ 5 จาก 6: สูตรกำลังสอง

ถ้าอย่างอื่นล้มเหลวและไม่สามารถแยกตัวประกอบสมการทั้งหมดได้ ให้ใช้สูตรกำลังสอง ลองตัวอย่างนี้:

NS² + 4x + 1 = 0

ขั้นตอนที่ 1 ป้อนค่าที่ต้องการในสูตรกำลังสอง:

x = -b ± (b² - 4ac)

2a

เราได้รับสมการ:

x = -4 ± (4² - 4•1•1) / 2

ขั้นตอนที่ 2 ค้นหาค่าของ x

คุณจะได้รับสองค่า ดังที่แสดงไว้ข้างต้น เราได้รับสองคำตอบ:

x = -2 + (3) หรือ x = -2 - (3)

ขั้นตอนที่ 3 ใช้ค่า x เพื่อหาตัวประกอบ

แทนค่า x ที่คุณมีลงในสมการพหุนามสองสมการเป็นค่าคงที่ ผลลัพธ์คือปัจจัยของคุณ ถ้าเราเรียกคำตอบของเรา h และ k เราจะเขียนปัจจัยสองประการดังนี้:

(x - h)(x - k)

ในตัวอย่างนี้ คำตอบสุดท้ายของเราคือ:

(x - (-2 + (3))(x - (-2 - (3)) = (x + 2 - (3))(x + 2 + (3))

วิธีที่ 6 จาก 6: การใช้เครื่องคิดเลข

หากคุณได้รับอนุญาตให้ใช้เครื่องคิดเลข เครื่องคิดเลขกราฟจะทำให้กระบวนการแฟคตอริ่งง่ายขึ้นมาก โดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับการทดสอบที่ได้มาตรฐาน คำแนะนำเหล่านี้มีไว้สำหรับเครื่องคำนวณกราฟ TI เราจะใช้สมการตัวอย่าง:

y = x² x2

ขั้นตอนที่ 1 ป้อนสมการของคุณลงในเครื่องคิดเลข

คุณจะใช้การแยกตัวประกอบของสมการซึ่งเขียนว่า [Y =] บนหน้าจอ

ขั้นตอนที่ 2 สร้างกราฟสมการของคุณโดยใช้เครื่องคิดเลข

เมื่อคุณป้อนสมการแล้ว ให้กด [GRAPH] – คุณจะเห็นเส้นโค้งเรียบที่แสดงสมการของคุณ (และรูปร่างนั้นเป็นเส้นโค้งเพราะเราใช้พหุนาม)

ขั้นตอนที่ 3 ค้นหาตำแหน่งที่เส้นโค้งตัดกับแกน x

เนื่องจากสมการพหุนามมักจะเขียนเป็น ax² + bx + c = 0 จุดตัดนี้เป็นค่าที่สองของ x ที่ทำให้สมการเป็นศูนย์:

(-1, 0), (2, 0)

x = -1, x = 2

หากคุณไม่สามารถระบุตำแหน่งที่กราฟตัดกับแกน x โดยดูที่กราฟ ให้กด [2nd] แล้วกด [TRACE] กด [2] หรือเลือกศูนย์ เลื่อนเคอร์เซอร์ไปทางซ้ายของทางแยกแล้วกด [ENTER] เลื่อนเคอร์เซอร์ไปทางขวาของทางแยกแล้วกด [ENTER] เลื่อนเคอร์เซอร์ไปใกล้กับทางแยกให้มากที่สุดแล้วกด [ENTER] เครื่องคิดเลขจะหาค่าของ x ทำเช่นนี้กับทางแยกอื่นๆ ด้วย

ขั้นตอนที่ 4 แทนค่า x ที่ได้จากขั้นตอนก่อนหน้าลงในสมการแฟกทอเรียลสองสมการ

ถ้าเราตั้งชื่อทั้งค่า x ของเรา h และ k สมการที่เราจะใช้จะเป็น:

(x - h)(x - k) = 0

ดังนั้น ปัจจัยสองประการของเราคือ

(x - (-1))(x - 2) = (x + 1)(x - 2)

เคล็ดลับ

• หากคุณมีเครื่องคิดเลข TI-84 (กราฟ) มีโปรแกรมที่เรียกว่า SOLVER ที่จะแก้สมการกำลังสองของคุณ โปรแกรมนี้จะแก้พหุนามในระดับใดก็ได้
• หากไม่มีการเขียนเทอม สัมประสิทธิ์จะเป็น 0 การเขียนสมการใหม่หากเป็นกรณีนี้มีประโยชน์ เช่น x² + 6 = x² +0x+6.
• หากคุณแยกตัวประกอบพหุนามโดยใช้สูตรกำลังสองและได้คำตอบในรูปของราก คุณอาจต้องการแปลงค่าของ x เป็นเศษส่วนเพื่อตรวจสอบ
• หากพจน์ไม่มีสัมประสิทธิ์เป็นลายลักษณ์อักษร สัมประสิทธิ์คือ 1 เช่น x² = 1x².
• หลังจากฝึกฝนมามากพอ ในที่สุด คุณจะสามารถแยกพหุนามในหัวของคุณได้ อย่าลืมจดวิธีการอยู่เสมอจนกว่าคุณจะทำได้