3 วิธีในการแก้สมการลูกบาศก์

2024 ผู้เขียน: Jason Gerald | [email protected]. แก้ไขล่าสุด: 2024-01-16 20:01

เมื่อคุณพบสมการกำลังสาม (ซึ่งอยู่ในรูปแบบ ax ³ + bx ² + cx + d = 0) บางทีคุณอาจคิดว่าปัญหาจะแก้ไขได้ยาก แต่ที่จริงแล้วการแก้สมการกำลังสามมีมานานหลายศตวรรษแล้ว! วิธีแก้ปัญหานี้ค้นพบโดยนักคณิตศาสตร์ชาวอิตาลี Niccolò Tartaglia และ Gerolamo Cardano ในทศวรรษที่ 1500 เป็นหนึ่งในสูตรแรกที่รู้จักกันในสมัยกรีกโบราณและโรม การแก้สมการกำลังสามอาจจะยากหน่อย แต่ด้วยวิธีการที่ถูกต้อง (และความรู้ที่เพียงพอ) แม้แต่สมการกำลังสามที่ยากที่สุดก็สามารถแก้ได้

ขั้นตอน

วิธีที่ 1 จาก 3: การแก้โดยใช้สมการกำลังสอง

ขั้นตอนที่ 1 ตรวจสอบว่าสมการกำลังสามของคุณมีค่าคงที่หรือไม่

ดังที่กล่าวไว้ข้างต้น รูปแบบของสมการกำลังสามคือ ax ³ + bx ² + cx + d = 0 b, c และค่าของ d สามารถเป็น 0 ได้โดยไม่กระทบต่อรูปแบบของสมการกำลังสาม โดยพื้นฐานแล้วหมายความว่าสมการลูกบาศก์ไม่จำเป็นต้องรวมค่าของ bx. เสมอไป ², cx หรือ d เป็นสมการลูกบาศก์ ในการเริ่มใช้วิธีแก้สมการกำลังสามได้ง่ายๆ ให้ตรวจดูว่าสมการกำลังสามของคุณมีค่าคงที่หรือไม่ (หรือค่า d) หากสมการของคุณไม่มีค่าคงที่หรือค่าสำหรับ d คุณสามารถใช้สมการกำลังสองเพื่อหาคำตอบของสมการกำลังสามหลังจากผ่านไปสองสามขั้นตอน

ในทางกลับกัน หากสมการของคุณมีค่าคงที่ คุณจะต้องมีคำตอบอื่น ดูขั้นตอนด้านล่างสำหรับแนวทางอื่นๆ

ขั้นตอนที่ 2 แยกค่า x จากสมการลูกบาศก์

เนื่องจากสมการของคุณไม่มีค่าคงที่ ส่วนประกอบทั้งหมดในนั้นจึงมีตัวแปร x ซึ่งหมายความว่าค่า x นี้สามารถแยกตัวประกอบออกจากสมการเพื่อทำให้ง่ายขึ้นได้ ทำขั้นตอนนี้และเขียนสมการกำลังสามของคุณใหม่ในรูปแบบ x (ax ² + bx + c).

ตัวอย่างเช่น สมมุติว่าสมการกำลังสามเดิมที่นี่คือ 3 x ³ + -2 x ² +14 x = 0 โดยการแยกตัวประกอบหนึ่งตัวแปร x จากสมการนี้ เราจะได้สมการ x (3 x ² + -2 x + 14) = 0.

ขั้นตอนที่ 3 ใช้สมการกำลังสองเพื่อแก้สมการในวงเล็บ

คุณอาจสังเกตเห็นว่าสมการใหม่บางสมการของคุณ ซึ่งอยู่ในวงเล็บ อยู่ในรูปของสมการกำลังสอง (ขวาน ² + bx + c). ซึ่งหมายความว่าเราสามารถหาค่าที่จำเป็นในการทำให้สมการนี้มีค่าเท่ากับศูนย์โดยแทนค่า a, b และ c ลงในสูตรสมการกำลังสอง ({- b +/-√ (b ²- 4 ac)}/2 ก) ทำการคำนวณเหล่านี้เพื่อหาคำตอบสองคำตอบสำหรับสมการลูกบาศก์ของคุณ

• ในตัวอย่างของเรา ให้แทนค่าของ a, b และ c (3, -2 และ 14 ตามลำดับ) ลงในสมการกำลังสองดังนี้:

  {- b +/-√ (b ²- 4 ac)}/2 ก

  {-(-2) +/-√ ((-2)²- 4(3)(14))}/2(3)

  {2 +/-√ (4 - (12)(14))}/6

  {2 +/-√ (4 - (168)}/6

  {2 +/-√ (-164)}/6

• คำตอบ 1:

  {2 + √(-164)}/6

  {2 + 12.8 ผม }/6

• คำตอบ 2:

  {2 - 12.8 ผม }/6

ขั้นตอนที่ 4 ใช้เลขศูนย์และคำตอบของสมการกำลังสองเป็นคำตอบของสมการกำลังสาม

สมการกำลังสองจะมีสองคำตอบ ในขณะที่สมการลูกบาศก์มีสามคำตอบ คุณรู้อยู่แล้วสองคำตอบจากสาม; ที่คุณได้รับจากส่วน "กำลังสอง" ของสมการในวงเล็บ หากสมการกำลังสามของคุณแก้ได้ด้วย "การแยกตัวประกอบ" แบบนี้ คำตอบที่สามของคุณก็เกือบทุกครั้ง 0. ปลอดภัย! คุณเพิ่งแก้สมการลูกบาศก์ได้

เหตุผลที่ทำให้วิธีนี้ใช้ได้ผลคือข้อเท็จจริงพื้นฐานที่ว่า "จำนวนใดๆ ที่คูณด้วยศูนย์เท่ากับศูนย์" เมื่อคุณแยกตัวประกอบสมการอยู่ในรูป x (ax ² + bx + c) = 0 โดยพื้นฐานแล้วคุณแบ่งมันออกเป็นสองส่วน ส่วนหนึ่งคือตัวแปร x ทางด้านซ้าย และอีกส่วนหนึ่งคือสมการกำลังสองในวงเล็บ ถ้าหนึ่งในสองส่วนนี้เป็นศูนย์ สมการทั้งหมดจะเป็นศูนย์ด้วย ดังนั้น ทั้งสองคำตอบของสมการกำลังสองในวงเล็บ ซึ่งจะทำให้มันเป็นศูนย์ ก็คือคำตอบของสมการกำลังสาม เช่นเดียวกับ 0 เอง ซึ่งจะทำให้ส่วนที่อยู่ทางซ้ายมือเป็นศูนย์ด้วย

วิธีที่ 2 จาก 3: การหาคำตอบจำนวนเต็มโดยใช้รายการปัจจัย

ขั้นตอนที่ 1 ตรวจสอบให้แน่ใจว่าสมการกำลังสามของคุณมีค่าคงที่

แม้ว่าวิธีการที่อธิบายไว้ข้างต้นจะค่อนข้างใช้งานง่าย เนื่องจากคุณไม่จำเป็นต้องเรียนรู้เทคนิคการคำนวณใหม่เพื่อใช้วิธีการดังกล่าว แต่ก็ไม่ได้ช่วยแก้สมการกำลังสามเสมอไป ถ้าสมการกำลังสามของคุณอยู่ในรูป ax ³ + bx ² + cx + d = 0 โดยที่ค่า d ไม่เท่ากับศูนย์ วิธีการ "แยกตัวประกอบ" ด้านบนใช้ไม่ได้ ดังนั้น คุณจะต้องใช้วิธีใดวิธีหนึ่งในส่วนนี้เพื่อแก้ปัญหานี้

ตัวอย่างเช่น สมมุติว่าเรามีสมการ 2 x ³ + 9 x ² + 13 x = -6 ในกรณีนี้ เพื่อให้ได้ศูนย์ทางด้านขวาของสมการ เราต้องบวก 6 ทั้งสองข้าง หลังจากนั้นเราจะได้สมการใหม่ 2 x ³ + 9 x ² +13 x + 6 = 0 โดยมีค่า d = 6 ดังนั้นเราจึงไม่สามารถใช้วิธีการ "แยกตัวประกอบ" เหมือนในวิธีก่อนหน้า

ขั้นตอนที่ 2 ค้นหาตัวประกอบของ a และ d

ในการแก้สมการกำลังสาม ให้เริ่มต้นด้วยการหาตัวประกอบของ a (สัมประสิทธิ์ของ x ³) และ d (ค่าคงที่ที่ส่วนท้ายของสมการ) จำไว้ว่า ตัวประกอบคือตัวเลขที่สามารถคูณกันเพื่อให้ได้จำนวนที่แน่นอน ตัวอย่างเช่น เนื่องจากคุณสามารถได้ 6 โดยการคูณ 6 × 1 และ 2 × 3, 1, 2, 3 และ 6 เป็นตัวประกอบของ 6

• ในตัวอย่างปัญหาที่เราใช้คือ a = 2 และ d = 6 ตัวประกอบของ 2 คือ 1 และ 2. ในขณะที่ตัวประกอบของ 6 คือ 1, 2, 3 และ 6

ขั้นตอนที่ 3 หารตัวประกอบ a ด้วยตัวประกอบของ d

ถัดไป ระบุค่าที่คุณได้รับโดยหารแต่ละปัจจัยของ a ด้วยตัวประกอบของ d แต่ละตัว การคำนวณนี้มักจะส่งผลให้มีค่าเศษส่วนจำนวนมากและจำนวนเต็มหลายจำนวน ค่าจำนวนเต็มในการแก้สมการกำลังสามคือหนึ่งในจำนวนเต็มที่ได้จากการคำนวณ

ในสมการของเรา หารค่าตัวประกอบของ a (1, 2) ด้วยตัวประกอบของ d (1, 2, 3, 6) แล้วได้ผลลัพธ์ดังต่อไปนี้: 1, 1/2, 1/3, 1/6, 2 และ 2/3 ถัดไป เพิ่มค่าลบลงในรายการ และเราจะได้รับ: 1, -1, 1/2, -1/2, 1/3, -1/3, 1/6, -1/6, 2, -2, 2/3, และ -2/3. คำตอบของสมการกำลังสาม -- ซึ่งเป็นจำนวนเต็ม อยู่ในรายการ

ขั้นตอนที่ 4 ใช้การหารสังเคราะห์เพื่อตรวจสอบคำตอบของคุณด้วยตนเอง

เมื่อคุณมีรายการของค่าดังที่กล่าวมาแล้ว คุณสามารถค้นหาค่าจำนวนเต็มที่เป็นคำตอบของสมการกำลังสามโดยการป้อนจำนวนเต็มด้วยตนเอง และค้นหาว่าค่าใดที่คืนค่าศูนย์ อย่างไรก็ตาม หากคุณไม่ต้องการใช้เวลาทำสิ่งนี้ มีวิธีหนึ่งที่ทำได้เร็วกว่า นั่นคือด้วยการคำนวณที่เรียกว่าการหารสังเคราะห์ โดยพื้นฐานแล้ว คุณจะต้องหารค่าจำนวนเต็มด้วยสัมประสิทธิ์ดั้งเดิมของ a, b, c และ d ในสมการกำลังสาม หากเศษเหลือเป็นศูนย์ แสดงว่าค่านั้นเป็นหนึ่งในคำตอบของสมการกำลังสาม

• การแบ่งสังเคราะห์เป็นหัวข้อที่ซับซ้อน - ดูลิงก์ด้านล่างสำหรับข้อมูลเพิ่มเติม ต่อไปนี้คือตัวอย่างวิธีหาคำตอบของสมการกำลังสามด้วยการหารแบบสังเคราะห์:

  -1 | 2 9 13 6

  _| -2-7-6

  _| 2 7 6 0

  เนื่องจากเราได้ผลลัพธ์สุดท้ายเท่ากับ 0 เราจึงรู้ว่าหนึ่งในจำนวนเต็มตอบสมการกำลังสามคือ - 1.

วิธีที่ 3 จาก 3: การใช้แนวทางการเลือกปฏิบัติ

ขั้นตอนที่ 1. เขียนสมการ a, b, c และ d

ในการหาคำตอบของสมการกำลังสามด้วยวิธีนี้ เราจะทำการคำนวณจำนวนมากด้วยสัมประสิทธิ์ในสมการของเรา ด้วยเหตุนี้ จึงเป็นความคิดที่ดีที่จะจดค่าของ a, b, c และ d ก่อนที่คุณจะลืมค่าใดๆ

ตัวอย่างเช่น สำหรับสมการ x ³ - 3 x ² + 3 x - 1 เขียนเป็น a = 1, b = -3, c = 3 และ d = -1 อย่าลืมว่าเมื่อตัวแปร x ไม่มีสัมประสิทธิ์ ค่าของมันคือ 1

ขั้นตอนที่ 2 คำนวณ 0 = b ² - แอร์ 3 ตัว.

วิธีการจำแนกเพื่อหาคำตอบของสมการกำลังสามต้องใช้การคำนวณที่ซับซ้อน แต่ถ้าคุณทำตามขั้นตอนอย่างระมัดระวัง จะมีประโยชน์มากสำหรับการแก้สมการกำลังสามที่แก้ยากด้วยวิธีอื่น อันดับแรก ให้หาค่า 0 ซึ่งเป็นค่านัยสำคัญของจำนวนหลายค่าที่เราต้องการ โดยแทนค่าที่เหมาะสมลงในสูตร b ² - แอร์ 3 ตัว.

• ในตัวอย่างที่เราใช้ เราจะแก้ได้ดังนี้:

  NS ² - 3 แอค

  (-3)² - 3(1)(3)

  9 - 3(1)(3)

  9 - 9 = 0 = 0

ขั้นตอนที่ 3 คำนวณ 1= 2 b ³ - 9 เอบีซี + 27 วัน ² NS.

ค่านัยสำคัญถัดไปที่เราต้องการคือ 1 ต้องการการคำนวณที่นานขึ้น แต่สามารถพบได้ในลักษณะเดียวกับ 0 แทนค่าที่เหมาะสมลงในสูตร 2 b ³ - 9 เอบีซี + 27 วัน ² d เพื่อรับค่า 1

• ในตัวอย่างนี้ เราแก้ได้ดังนี้:

  2(-3)³ - 9(1)(-3)(3) + 27(1)²(-1)

  2(-27) - 9(-9) + 27(-1)

  -54 + 81 - 27

  81 - 81 = 0 = 1

ขั้นตอนที่ 4 คำนวณ = 1² - 4Δ0³) -27 ก ².

ต่อไปเราจะคำนวณค่า "discriminant" ของค่า 0 และ 1 discriminant คือตัวเลขที่ให้ข้อมูลเกี่ยวกับรากของพหุนาม (คุณอาจจำสูตรการจำแนกกำลังสองโดยไม่รู้ตัว: b ² - เครื่องปรับอากาศ 4 เครื่อง) ในกรณีของสมการกำลังสาม ถ้าค่าของ discriminant เป็นบวก สมการจะมีคำตอบที่เป็นจำนวนจริงสามตัว หากค่าดิสคริมิแนนต์เท่ากับศูนย์ สมการจะมีคำตอบเป็นจำนวนจริงหนึ่งหรือสองคำตอบ และคำตอบบางข้อมีค่าเท่ากัน หากค่าเป็นลบ สมการจะมีคำตอบเป็นจำนวนจริงเพียงคำตอบเดียว เพราะกราฟของสมการจะตัดกับแกน x อย่างน้อยหนึ่งครั้งเสมอ)

• ในตัวอย่างนี้ เนื่องจากทั้ง 0 และ 1 = 0 การหาค่าของเป็นเรื่องง่ายมาก เราเพียงแค่ต้องคำนวณด้วยวิธีต่อไปนี้:

  1² - 4Δ0³) -27 ก ²

  (0)² - 4(0)³) ÷ -27(1)²

  0 - 0 ÷ 27

  0 = ดังนั้นสมการของเราจึงมี 1 หรือ 2 คำตอบ

ขั้นตอนที่ 5. คำนวณ C = ³(√((Δ1² - 4Δ0³) + 1)/ 2).

ค่าสุดท้ายที่สำคัญสำหรับเราที่จะได้รับคือค่าของ C ค่านี้ทำให้เราได้รากทั้งสามของสมการกำลังสาม แก้ตามปกติ โดยแทนค่า 1 และ 0 ลงในสูตร

• ในตัวอย่างนี้ เราจะได้ค่า C โดย:

  ³(√((Δ1² - 4Δ0³) + 1)/ 2)

  ³√(√((0² - 4(0)³) + (0))/ 2)

  ³√(√((0 - 0) + (0))/ 2)

  0 = C

ขั้นตอนที่ 6 คำนวณรากทั้งสามของสมการด้วยตัวแปรของคุณ

ราก (คำตอบ) ของสมการกำลังสามของคุณถูกกำหนดโดยสูตร (ข + คุณ C + (Δ0/u C)) / 3 ก โดยที่ u = (-1 + (-3))/2 และ n เท่ากับ 1, 2 หรือ 3 แทนค่าของคุณลงในสูตรเพื่อแก้ปัญหา - อาจมีการคำนวณค่อนข้างน้อย แต่คุณควรได้คำตอบสมการลูกบาศก์ทั้งสามของคุณ!

• ในตัวอย่างนี้ เราอาจแก้มันโดยการตรวจสอบคำตอบเมื่อ n เท่ากับ 1, 2 และ 3 คำตอบที่เราได้รับจากการคำนวณนี้คือคำตอบที่เป็นไปได้ของสมการกำลังสาม - ค่าใดๆ ที่เราแทนค่าลงในสมการกำลังสามและมันให้ ผลลัพธ์เดียวกัน กับ 0 คือคำตอบที่ถูกต้อง ตัวอย่างเช่น หากเราได้คำตอบเท่ากับ 1 หากในการทดลองคำนวณของเรา ให้แทนค่า 1 ลงในสมการ x ³ - 3 x ² + 3 x - 1 ให้ผลลัพธ์สุดท้ายเท่ากับ 0 ดังนั้น

  ขั้นตอนที่ 1. เป็นหนึ่งในคำตอบของสมการกำลังสาม