3 วิธีในการเพิ่มหรือลบเวกเตอร์

2024 ผู้เขียน: Jason Gerald | [email protected]. แก้ไขล่าสุด: 2024-01-15 08:25

เวกเตอร์เป็นปริมาณทางกายภาพที่มีทั้งขนาดและทิศทาง (เช่น ความเร็ว ความเร่ง และการกระจัด) ตรงข้ามกับสเกลาร์ที่ประกอบด้วยขนาดเท่านั้น (เช่น ความเร็ว ระยะทาง หรือพลังงาน) หากสามารถเพิ่มสเกลาร์ได้โดยการเพิ่มขนาด (เช่น งาน 5 kJ บวกงาน 6 kJ เท่ากับงาน 11 kJ) เวกเตอร์จะบวกหรือลบได้ยาก ดูขั้นตอนที่ 1 ด้านล่างเพื่อเรียนรู้วิธีเพิ่มหรือลบเวกเตอร์

ขั้นตอน

วิธีที่ 1 จาก 3: การบวกและการลบเวกเตอร์ที่รู้จักส่วนประกอบ

ขั้นตอนที่ 1 เขียนองค์ประกอบมิติของเวกเตอร์ในรูปแบบเวกเตอร์

เนื่องจากเวกเตอร์มีขนาดและทิศทาง พวกมันจึงสามารถแบ่งออกเป็นส่วนๆ ตามมิติ x, y และ/หรือ z มิติเหล่านี้มักจะเขียนด้วยสัญลักษณ์ที่คล้ายกันเพื่ออธิบายจุดในระบบพิกัด (เช่นและอื่นๆ) ถ้าคุณรู้ส่วนนี้ การบวกหรือลบเวกเตอร์นั้นง่ายมาก แค่บวกหรือลบพิกัด x, y และ z ของพวกมัน

• สังเกตว่าขนาดของเวกเตอร์คือ 1, 2 หรือ 3 ดังนั้น เวกเตอร์สามารถมีส่วนประกอบ x, x และ y หรือ x, y และ z ตัวอย่างต่อไปนี้ของเราใช้เวกเตอร์ 3 มิติ แต่กระบวนการนี้เหมือนกับเวกเตอร์ 1 หรือ 2 มิติ
• สมมติว่าเรามีเวกเตอร์ 3 มิติสองเวกเตอร์ เวกเตอร์ A และเวกเตอร์ B เราสามารถเขียนเวกเตอร์เหล่านี้โดยใช้สัญลักษณ์เวกเตอร์ เช่น A = และ B = โดยที่ a1 และ a2 เป็นส่วนประกอบ x b1 และ b2 เป็นส่วนประกอบ y และ c1 และ c2 เป็นส่วนประกอบ z

ขั้นตอนที่ 2 ในการบวกเวกเตอร์สองตัว ให้รวมส่วนประกอบเข้าด้วยกัน

หากทราบองค์ประกอบทั้งสองของเวกเตอร์ คุณสามารถเพิ่มเวกเตอร์ได้โดยการเพิ่มองค์ประกอบของแต่ละองค์ประกอบ กล่าวอีกนัยหนึ่ง เพิ่มองค์ประกอบ x ของเวกเตอร์แรกเข้ากับองค์ประกอบ x ของเวกเตอร์ที่สอง และทำเช่นเดียวกันสำหรับ y และ z คำตอบที่คุณได้รับจากการบวกส่วนประกอบ x, y และ z ของเวกเตอร์เหล่านั้นคือส่วนประกอบ x, y และ z ของเวกเตอร์ใหม่ของคุณ

• โดยทั่วไปแล้ว A+B =.
• ลองบวกเวกเตอร์ A และ B สองตัว A = และ B = A + B = หรือ.

ขั้นตอนที่ 3 ในการลบเวกเตอร์ทั้งสอง ให้ลบองค์ประกอบของมัน

ตามที่เราจะพูดถึงในภายหลัง การลบเวกเตอร์หนึ่งออกจากอีกเวกเตอร์ สามารถคิดได้ว่าเป็นการบวกเวกเตอร์ส่วนกลับของมัน หากทราบส่วนประกอบของเวกเตอร์ทั้งสอง เป็นไปได้ที่จะลบเวกเตอร์หนึ่งออกจากอีกเวกเตอร์โดยลบองค์ประกอบแรกออกจากองค์ประกอบที่สอง (หรือโดยการเพิ่มองค์ประกอบเชิงลบของทั้งสอง)

• โดยทั่วไปแล้ว เอ-บี =
• ลองลบเวกเตอร์สองตัว A และ B A = และ B = A - B = หรือ.

วิธีที่ 2 จาก 3: การบวกและการลบด้วยรูปภาพโดยใช้วิธีส่วนหัวและส่วนท้าย

ขั้นตอนที่ 1 กำหนดสัญลักษณ์เวกเตอร์โดยวาดโดยใช้หัวและหาง

เนื่องจากเวกเตอร์มีทั้งขนาดและทิศทาง เราจึงกล่าวได้ว่าพวกมันมีหางและหัว กล่าวอีกนัยหนึ่ง เวกเตอร์มีจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดที่ระบุทิศทางของเวกเตอร์ซึ่งระยะห่างจากจุดเริ่มต้นเท่ากับขนาดของเวกเตอร์ เมื่อวาด เวกเตอร์จะมีรูปร่างเป็นลูกศร ส่วนปลายของลูกศรคือส่วนหัวของเวกเตอร์ และส่วนท้ายของเส้นเวกเตอร์คือส่วนท้าย

หากคุณกำลังสร้างภาพวาดเวกเตอร์ที่มีมิติ คุณจะต้องวัดและวาดมุมทั้งหมดให้ถูกต้อง มุมที่ไม่ถูกต้องของภาพจะส่งผลต่อผลลัพธ์ที่ได้เมื่อมีการเพิ่มหรือลบเวกเตอร์สองตัวโดยใช้วิธีนี้

ขั้นตอนที่ 2 การเพิ่ม วาด หรือย้ายเวกเตอร์ที่สองเพื่อให้ส่วนท้ายตรงกับส่วนหัวของเวกเตอร์แรก

นี่เรียกว่าการรวมเวกเตอร์หัวต่อท้าย หากคุณแค่บวกเวกเตอร์สองตัว นี่คือสิ่งที่คุณต้องทำก่อนหาเวกเตอร์ผลลัพธ์

โปรดทราบว่าลำดับที่คุณเพิ่มเวกเตอร์ไม่สำคัญ สมมติว่าคุณใช้จุดเริ่มต้นเดียวกัน เวกเตอร์ A + เวกเตอร์ B = เวกเตอร์ B + เวลเตอร์ A

ขั้นตอนที่ 3 ในการลบ เพิ่มเครื่องหมายลบให้กับเวกเตอร์

การลดเวกเตอร์โดยใช้รูปภาพนั้นง่ายมาก กลับทิศทางเวกเตอร์ แต่ให้ขนาดเท่าเดิมและบวกส่วนหัวและส่วนท้ายของเวกเตอร์ตามปกติ กล่าวอีกนัยหนึ่ง ในการลบเวกเตอร์ ให้หมุนเวกเตอร์ 180^o และเพิ่ม

ขั้นตอนที่ 4 หากคุณบวกหรือลบเวกเตอร์มากกว่าสองเวกเตอร์ ให้รวมเวกเตอร์ทั้งหมดตามลำดับหัวต่อท้าย

ลำดับการรวมไม่สำคัญ วิธีนี้สามารถใช้ได้โดยไม่คำนึงถึงจำนวนของเวกเตอร์

ขั้นตอนที่ 5. วาดเวกเตอร์ใหม่จากส่วนท้ายของเวกเตอร์แรกไปยังส่วนหัวของเวกเตอร์สุดท้าย

ไม่ว่าคุณจะบวก/ลบเวกเตอร์สองตัวหรือหนึ่งร้อย เวกเตอร์ที่ขยายจากจุดเริ่มต้นเริ่มต้นของคุณ (ส่วนท้ายของเวกเตอร์แรก) ไปจนถึงจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์สุดท้ายของคุณ (ส่วนหัวของเวกเตอร์สุดท้ายของคุณ) ก็คือเวกเตอร์ผลลัพธ์ หรือผลรวมของเวกเตอร์ทั้งหมดของคุณ โปรดทราบว่าเวกเตอร์นี้เหมือนกันทุกประการกับเวกเตอร์ที่ได้จากการบวกส่วนประกอบ x, y และ/หรือ z ทั้งหมดเข้าด้วยกัน

• หากคุณวาดเวกเตอร์ทั้งหมดตามขนาด โดยการวัดมุมทั้งหมดอย่างถูกต้อง คุณจะสามารถกำหนดขนาดของเวกเตอร์ผลลัพธ์ได้โดยการวัดความยาว คุณยังสามารถวัดมุมระหว่างผลลัพธ์กับเวกเตอร์ใดๆ ในแนวนอนหรือแนวตั้งเพื่อกำหนดทิศทางได้
• หากคุณไม่วาดเวกเตอร์ทั้งหมดตามขนาด คุณอาจต้องคำนวณขนาดของผลลัพธ์โดยใช้ตรีโกณมิติ บางทีกฎไซน์และโคไซน์อาจช่วยได้ หากคุณเพิ่มเวกเตอร์มากกว่าสองเวกเตอร์ การเพิ่มเวกเตอร์แรกด้วยเวกเตอร์จะช่วยได้มาก จากนั้นจึงเพิ่มผลลัพธ์ของเวกเตอร์ที่สองเข้ากับเวกเตอร์ที่สาม เป็นต้น ดูข้อมูลเพิ่มเติมในส่วนต่อไปนี้

ขั้นตอนที่ 6 วาดเวกเตอร์ผลลัพธ์โดยใช้ขนาดและทิศทาง

เวกเตอร์ถูกกำหนดโดยความยาวและทิศทางของมัน ตามข้างบนนี้ สมมติว่าคุณวาดเวกเตอร์ได้อย่างแม่นยำ ขนาดของเวกเตอร์ใหม่ของคุณคือความยาว และทิศทางของมันคือมุมที่สัมพันธ์กับทิศทางแนวตั้งหรือแนวนอน ใช้เวกเตอร์หน่วยที่คุณบวกหรือลบเพื่อกำหนดหน่วยสำหรับขนาดของเวกเตอร์ผลลัพธ์ของคุณ

ตัวอย่างเช่น หากเวกเตอร์ที่เพิ่มเข้ามาแทนความเร็วเป็น ms^-1จากนั้นเวกเตอร์ผลลัพธ์สามารถกำหนดเป็น "ความเร็ว x ms^-1 ต่อต้าน y ^o ไปยังทิศทางแนวนอน.

วิธีที่ 3 จาก 3: การบวกและการลบเวกเตอร์โดยการระบุส่วนประกอบมิติเวกเตอร์

ขั้นตอนที่ 1 ใช้ตรีโกณมิติเพื่อกำหนดองค์ประกอบของเวกเตอร์

ในการค้นหาองค์ประกอบของเวกเตอร์ คุณมักจะต้องรู้ขนาดและทิศทางสัมพันธ์กับทิศทางแนวนอนหรือแนวตั้ง และทำความเข้าใจตรีโกณมิติ สมมติว่าเวกเตอร์ 2 มิติ อย่างแรก ให้คิดว่าเวกเตอร์ของคุณเป็นด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีด้านคู่ขนานกับทิศทาง x และ y สองด้านนี้ถือได้ว่าเป็นองค์ประกอบของเวกเตอร์หัวต่อท้ายที่รวมกันเป็นเวกเตอร์ของคุณ

• ความยาวของทั้งสองข้างเท่ากับองค์ประกอบ x และ y ของเวกเตอร์ และสามารถคำนวณได้โดยใช้ตรีโกณมิติ ถ้า x เป็นขนาดเวกเตอร์ ด้านที่อยู่ติดกับมุมเวกเตอร์ (สัมพันธ์กับทิศทางแนวนอน แนวตั้ง และทิศทางอื่นๆ) จะเป็น xcos(θ) ในขณะที่ฝั่งตรงข้ามคือ ซิน(θ).
• สิ่งสำคัญคือต้องสังเกตทิศทางของส่วนประกอบของคุณ ถ้าองค์ประกอบชี้ไปที่พิกัดเชิงลบ จะได้รับเครื่องหมายลบ ตัวอย่างเช่น ในระนาบ 2 มิติ หากส่วนประกอบชี้ไปทางซ้ายหรือลง จะเป็นค่าลบ
• ตัวอย่างเช่น สมมติว่าเรามีเวกเตอร์ที่มีขนาด 3 และทิศทาง 135^o เทียบกับแนวนอน ด้วยข้อมูลนี้ เราสามารถระบุได้ว่าองค์ประกอบ x คือ 3cos(135) = - 2, 12 และองค์ประกอบ y คือ 3sin(135) = 2, 12

ขั้นตอนที่ 2 บวกหรือลบเวกเตอร์ที่เกี่ยวข้องกันตั้งแต่สองตัวขึ้นไป

เมื่อคุณพบองค์ประกอบของเวกเตอร์ทั้งหมดของคุณแล้ว ให้รวมเข้าด้วยกันเพื่อค้นหาองค์ประกอบของเวกเตอร์ผลลัพธ์ของคุณ ขั้นแรก ให้รวมขนาดขององค์ประกอบแนวนอนทั้งหมด (ซึ่งขนานกับทิศทาง x) แยกกัน บวกขนาดทั้งหมดของส่วนประกอบแนวตั้ง (ซึ่งขนานกับทิศทาง y) หากองค์ประกอบเป็นค่าลบ (-) ขนาดขององค์ประกอบนั้นจะถูกลบออกโดยไม่บวกเพิ่ม คำตอบที่คุณได้รับคือองค์ประกอบของเวกเตอร์ผลลัพธ์

ตัวอย่างเช่น เวกเตอร์จากขั้นตอนก่อนหน้า, จะถูกเพิ่มไปยังเวกเตอร์ ในกรณีนี้ เวกเตอร์ผลลัพธ์จะกลายเป็น หรือ

ขั้นตอนที่ 3 คำนวณขนาดของเวกเตอร์ผลลัพธ์โดยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

ทฤษฎีบทพีทาโกรัส c²=a²+ข², ใช้ในการหาความยาวของด้านของสามเหลี่ยมมุมฉาก เนื่องจากสามเหลี่ยมที่เกิดจากเวกเตอร์ผลลัพธ์และส่วนประกอบของมันเป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก เราจึงสามารถใช้มันเพื่อหาความยาวและขนาดของเวกเตอร์ได้ โดยที่ c เป็นขนาดของเวกเตอร์ผลลัพธ์ที่คุณกำลังมองหา สมมติว่า a คือขนาดขององค์ประกอบ x และ b คือขนาดขององค์ประกอบ y แก้โดยใช้พีชคณิต

• ในการหาขนาดของเวกเตอร์ที่มีส่วนประกอบที่เรากำลังมองหาในขั้นตอนที่แล้ว ให้ใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส แก้ดังนี้

  • ค²=(3, 66)²+(-6, 88)²
  • ค²=13, 40+47, 33
  • c=√60, 73 = 7, 79

ขั้นตอนที่ 4 คำนวณทิศทางผลลัพธ์โดยใช้ฟังก์ชันแทนเจนต์

สุดท้าย ให้หาเวกเตอร์ผลลัพธ์ของทิศทาง ใช้สูตร =tan^-1(b/a) โดยที่ขนาดของมุมที่เกิดขึ้นในทิศทาง x หรือแนวนอน b คือขนาดขององค์ประกอบ y และ a คือขนาดขององค์ประกอบ x

• ในการหาทิศทางของเวกเตอร์ ให้ใช้ =tan^-1(ข/ก).

  • =แทน^-1(-6, 88/3, 66)
  • =แทน^-1(-1, 88)
  • =-61, 99^o

ขั้นตอนที่ 5. วาดเวกเตอร์ผลลัพธ์ของคุณตามขนาดและทิศทาง

ดังที่เขียนไว้ข้างต้น เวกเตอร์ถูกกำหนดโดยขนาดและทิศทาง ตรวจสอบให้แน่ใจว่าใช้หน่วยที่เหมาะสมสำหรับขนาดเวกเตอร์ของคุณ

ตัวอย่างเช่น ถ้าตัวอย่างเวกเตอร์แทนแรง (เป็นนิวตัน) เราก็เขียนได้ "แรง 7.79 N โดย -61.99 ^o แนวนอน".

เคล็ดลับ

• เวกเตอร์แตกต่างจากขนาดใหญ่
• เวกเตอร์ที่มีทิศทางเดียวกันสามารถเพิ่มหรือลบได้โดยการเพิ่มหรือลบขนาดของพวกมัน ถ้าคุณ สรุปผล เวกเตอร์สองตัวที่อยู่ตรงข้ามกัน ขนาดของพวกมันถูกลบออก ไม่บวกเพิ่ม
• เวกเตอร์ที่แสดงในรูปแบบ x i + y j + z k สามารถเพิ่มหรือลบได้โดยการเพิ่มหรือลบสัมประสิทธิ์ของเวกเตอร์หน่วยทั้งสาม คำตอบจะอยู่ในรูปของ i, j และ k ด้วย
• คุณสามารถหาขนาดของเวกเตอร์สามมิติได้โดยใช้สูตร a²=b²+ค²+d² โดยที่ a คือขนาดของเวกเตอร์ และ b, c และ d เป็นส่วนประกอบของแต่ละทิศทาง
• สามารถเพิ่มและลบเวกเตอร์คอลัมน์ได้โดยการเพิ่มหรือลบค่าของแต่ละแถว