วิธีการแยกตัวประกอบพหุนามต่อกำลังสาม: 12 ขั้นตอน

2024 ผู้เขียน: Jason Gerald | [email protected]. แก้ไขล่าสุด: 2024-01-15 08:25

นี่คือบทความเกี่ยวกับวิธีการแยกตัวประกอบพหุนามลูกบาศก์ เราจะสำรวจวิธีแยกตัวประกอบโดยใช้การจัดกลุ่มรวมถึงการใช้ปัจจัยจากเงื่อนไขอิสระ

ขั้นตอน

วิธีที่ 1 จาก 2: การแยกตัวประกอบโดยการจัดกลุ่ม

ขั้นตอนที่ 1 จัดกลุ่มพหุนามออกเป็นสองส่วน

การจัดกลุ่มพหุนามออกเป็นสองส่วนจะช่วยให้คุณแยกแต่ละส่วนแยกกันได้

สมมติว่าเราใช้พหุนาม: x³ + 3x² - 6x - 18 = 0 แยกเป็น (x³ + 3x²) และ (- 6x - 18)

ขั้นตอนที่ 2 ค้นหาปัจจัยที่เหมือนกันในแต่ละส่วน

จาก (x³ + 3x²) เราจะเห็นปัจจัยเดียวกันคือ x².
จาก (- 6x - 18) เราจะเห็นตัวประกอบที่เท่ากันคือ -6

ขั้นตอนที่ 3 นำตัวประกอบที่เท่ากันออกจากทั้งสองเทอม

นำปัจจัย x. ออก² ตั้งแต่ภาคแรกจะได้ x²(x + 3).
นำตัวประกอบ -6 ออกจากส่วนที่สอง เราได้ -6(x + 3)

ขั้นตอนที่ 4 หากทั้งสองเทอมมีตัวประกอบเหมือนกัน คุณสามารถรวมตัวประกอบเข้าด้วยกันได้

คุณจะได้รับ (x + 3)(x² - 6).

ขั้นตอนที่ 5. ค้นหาคำตอบโดยดูที่รากของสมการ

หากคุณมี x² ที่รากของสมการ จำไว้ว่าทั้งจำนวนบวกและลบจะเป็นไปตามสมการ

คำตอบคือ -3, 6 และ -√6

วิธีที่ 2 จาก 2: การแยกตัวประกอบโดยใช้เงื่อนไขฟรี

ขั้นตอนที่ 1. จัดเรียงสมการใหม่ให้อยู่ในรูป aX³+bX²+cX+ง.

สมมติว่าเราใช้พหุนาม: x³ - 4x² - 7x + 10 = 0

ขั้นตอนที่ 2 ค้นหาตัวประกอบทั้งหมดของ "d"

ค่าคงที่ "d" คือตัวเลขที่ไม่มีตัวแปรใดๆ เช่น "x" อยู่ข้างๆ

ตัวประกอบคือตัวเลขที่สามารถคูณเข้าด้วยกันเพื่อให้ได้ตัวเลขอื่น ในกรณีนี้ ตัวประกอบของ 10 ซึ่งก็คือ "d" คือ 1, 2, 5 และ 10

ขั้นตอนที่ 3 หาตัวประกอบที่ทำให้พหุนามเท่ากับศูนย์

เราต้องกำหนดว่าตัวประกอบใดที่ทำให้พหุนามเท่ากับศูนย์เมื่อเราแทนตัวประกอบลงใน "x" แต่ละตัวในสมการ

เริ่มต้นด้วยตัวประกอบแรก ซึ่งก็คือ 1 แทน "1" สำหรับแต่ละ "x" ในสมการ:

(1)³ - 4(1)² - 7(1) + 10 = 0.
คุณจะได้รับ: 1 - 4 - 7 + 10 = 0
เนื่องจาก 0 = 0 เป็นข้อความจริง คุณจึงรู้ว่า x = 1 คือคำตอบ

ขั้นตอนที่ 4 ทำการตั้งค่าบางอย่าง

ถ้า x = 1 คุณสามารถจัดเรียงข้อความสั่งใหม่เพื่อให้ดูแตกต่างออกไปเล็กน้อยโดยไม่ต้องเปลี่ยนความหมาย

"x = 1" เหมือนกับ "x - 1 = 0" คุณก็แค่ลบ 1 ออกจากแต่ละข้างของสมการ

ขั้นตอนที่ 5. หาตัวประกอบรากของสมการจากสมการที่เหลือ

"(x - 1)" คือรากของสมการ ตรวจสอบว่าคุณสามารถแยกตัวประกอบส่วนที่เหลือของสมการได้หรือไม่ นำพหุนามออกมาทีละตัว

คุณแยกตัวประกอบ (x - 1) จาก x. ได้ไหม³? เลขที่. แต่คุณสามารถยืม -x² ของตัวแปรที่สอง จากนั้นคุณสามารถแยกตัวประกอบได้: x²(x - 1) = x³ - NS².
คุณแยกตัวประกอบ (x - 1) จากส่วนที่เหลือของตัวแปรที่สองได้ไหม เลขที่. คุณต้องยืมเล็กน้อยจากตัวแปรที่สาม คุณต้องยืม 3x จาก -7x สิ่งนี้จะให้ผลลัพธ์ -3x(x - 1) = -3x² + 3 เท่า
เนื่องจากคุณเอา 3x จาก -7x มา ตัวแปรที่สามจึงกลายเป็น -10x และค่าคงที่คือ 10 คุณแยกตัวประกอบได้หรือไม่ ใช่! -10(x - 1) = -10x + 10
สิ่งที่คุณทำคือตั้งค่าตัวแปรเพื่อให้คุณสามารถแยกตัวประกอบ (x - 1) จากสมการทั้งหมดได้ คุณจัดเรียงสมการใหม่เป็นดังนี้: x³ - NS² - 3x² + 3x - 10x + 10 = 0 แต่สมการยังเท่ากับ x³ - 4x² - 7x + 10 = 0

ขั้นตอนที่ 6 ดำเนินการแทนด้วยตัวประกอบของเทอมอิสระ

ดูจำนวนที่คุณแยกตัวประกอบโดยใช้ (x - 1) ในขั้นตอนที่ 5:

NS²(x - 1) - 3x(x - 1) - 10(x - 1) = 0 คุณสามารถจัดเรียงใหม่เพื่อให้แยกตัวประกอบได้ง่ายขึ้นอีกครั้ง: (x - 1)(x² - 3x - 10) = 0.
ที่นี่คุณจะต้องแยกตัวประกอบ (x² - 3x - 10) ผลลัพธ์ของแฟคตอริ่งคือ (x + 2)(x - 5)

ขั้นตอนที่ 7 คำตอบของคุณคือรากที่แยกตัวประกอบของสมการ

คุณสามารถตรวจสอบว่าคำตอบของคุณถูกต้องหรือไม่โดยเสียบคำตอบแต่ละข้อแยกกันในสมการเดิม

(x - 1)(x + 2)(x - 5) = 0 ซึ่งจะให้คำตอบที่ 1, -2 และ 5
เสียบ -2 ลงในสมการ: (-2)³ - 4(-2)² - 7(-2) + 10 = -8 - 16 + 14 + 10 = 0.
เสียบ 5 ลงในสมการ: (5)³ - 4(5)² - 7(5) + 10 = 125 - 100 - 35 + 10 = 0.

เคล็ดลับ

ไม่มีพหุนามลูกบาศก์ที่ไม่สามารถแยกตัวประกอบโดยใช้จำนวนจริงได้ เพราะทุกลูกบาศก์มีรูทจริงเสมอ พหุนามลูกบาศก์เช่น x³ + x + 1 ซึ่งมีรากจริงไม่ลงตัวไม่สามารถแยกตัวประกอบเป็นพหุนามที่มีจำนวนเต็มหรือสัมประสิทธิ์ตรรกยะได้ แม้ว่าจะสามารถแยกตัวประกอบจากสูตรลูกบาศก์ได้ แต่ก็ไม่สามารถลดลงเป็นพหุนามจำนวนเต็มได้
พหุนามลูกบาศก์เป็นผลคูณของพหุนามสามพหุนามยกกำลังหนึ่งหรือผลคูณของพหุนามยกกำลังหนึ่งและพหุนามยกกำลังสองซึ่งแยกตัวประกอบไม่ได้ สำหรับสถานการณ์อย่างหลัง คุณใช้การหารยาวหลังจากหาพหุนามยกกำลังแรกเพื่อให้ได้พหุนามกำลังสอง