วิธีการสืบทอดฟังก์ชันโดยนัย: 7 ขั้นตอน (พร้อมรูปภาพ)

2024 ผู้เขียน: Jason Gerald | [email protected]. แก้ไขล่าสุด: 2024-01-19 22:14

ในแคลคูลัส เมื่อคุณมีสมการของ y เขียนอยู่ในรูป x (เช่น y = x² -3x) มันง่ายที่จะใช้เทคนิคการหาอนุพันธ์ขั้นพื้นฐาน (ที่นักคณิตศาสตร์เรียกว่าเทคนิคอนุพันธ์ของฟังก์ชันโดยปริยาย) เพื่อค้นหาอนุพันธ์ อย่างไรก็ตาม สำหรับสมการที่สร้างยากโดยมีเพียงเทอม y ที่ด้านหนึ่งของเครื่องหมายเท่ากับ (เช่น x² + y² - 5x + 8y + 2xy² = 19) จำเป็นต้องมีแนวทางที่แตกต่างออกไป ด้วยเทคนิคที่เรียกว่าอนุพันธ์ของฟังก์ชันโดยนัย มันง่ายที่จะหาอนุพันธ์ของสมการหลายตัวแปร ตราบใดที่คุณรู้พื้นฐานของอนุพันธ์ของฟังก์ชันโจ่งแจ้ง!

ขั้นตอน

วิธีที่ 1 จาก 2: การหาสมการอย่างง่ายอย่างรวดเร็ว

ขั้นตอนที่ 1. หาค่า x ตามปกติ

เมื่อพยายามหาสมการพหุตัวแปร เช่น x² + y² - 5x + 8y + 2xy² = 19 อาจเป็นเรื่องยากที่จะรู้ว่าจะเริ่มจากตรงไหน โชคดีที่ขั้นตอนแรกของอนุพันธ์ของฟังก์ชันโดยนัยนั้นง่ายที่สุด แค่หาค่าเทอม x และค่าคงที่ทั้งสองข้างของสมการตามกฎของอนุพันธ์ทั่วไป (อย่างชัดแจ้ง) ที่จะเริ่มด้วย ละเว้นเงื่อนไข y ในขณะนี้

• ลองมาดูตัวอย่างของสมการอย่างง่ายข้างต้นกัน NS² + y² - 5x + 8y + 2xy² = 19 มีสองเทอม x: x² และ -5x ถ้าเราอยากได้สมการ เราต้องทำแบบนี้ก่อน

  NS² + y² - 5x + 8y + 2xy² = 19

  (ลดยกกำลัง 2 ใน x² เป็นค่าสัมประสิทธิ์ ลบ x ใน -5x และเปลี่ยน 19 เป็น 0)

  2x + y² - 5 + 8y + 2xy² = 0

ขั้นที่ 2. หาพจน์ y แล้วเติม (dy/dx) ถัดจากแต่ละพจน์

สำหรับขั้นตอนต่อไป แค่หาเทอม y ด้วยวิธีเดียวกับที่คุณได้เทอม x อย่างไรก็ตาม คราวนี้ ให้บวก (dy/dx) ข้างแต่ละเทอมเหมือนที่คุณจะบวกสัมประสิทธิ์ ตัวอย่างเช่น หากคุณลดค่า y²จากนั้นอนุพันธ์จะกลายเป็น 2y(dy/dx) ละเว้นเงื่อนไขที่มี x และ y ในขณะนี้

• ในตัวอย่างของเรา สมการของเราตอนนี้มีลักษณะดังนี้: 2x + y² - 5 + 8y + 2xy² = 0 เราจะดำเนินการขั้นตอนต่อไปในการหาค่า y ดังนี้:

  2x + y² - 5 + 8y + 2xy² = 0

  (ลดยกกำลัง 2 ใน y² เป็นสัมประสิทธิ์ ลบ y ใน 8y และใส่ dy/dx ถัดจากแต่ละเทอม)

  2x + 2y(dy/dx) - 5 + 8(dy/dx) + 2xy²= 0

ขั้นตอนที่ 3 ใช้กฎผลิตภัณฑ์หรือกฎผลหารสำหรับเงื่อนไขที่มี x และ y

การทำงานกับเทอมที่มี x กับ y นั้นค่อนข้างยุ่งยาก แต่ถ้าคุณรู้กฎของผลิตภัณฑ์และความฉลาดทางอนุพันธ์ คุณจะพบว่ามันง่าย หากเงื่อนไข x และ y คูณกัน ให้ใช้กฎผลิตภัณฑ์ ((f × g)' = f' × g + g × f') แทนที่เทอม x สำหรับ f และเทอม y สำหรับ g ในทางกลับกัน หากเงื่อนไข x และ y ไม่เกิดร่วมกัน ให้ใช้กฎผลหาร ((f/g)' = (g × f' - g' × f)/g²) แทนตัวเศษสำหรับ f และตัวส่วนสำหรับ g

• ในตัวอย่างของเรา 2x + 2y(dy/dx) - 5 + 8(dy/dx) + 2xy² = 0 เรามีเทอมเดียวที่มี x และ y - 2xy². เนื่องจาก x และ y คูณกัน เราจะใช้กฎผลิตภัณฑ์เพื่อให้ได้มาดังนี้:

  2xy² = (2x)(y²)- set 2x = f และ y² = g ใน (f × g)' = f' × g + g × f'

  (f × g)' = (2x)' × (y²) + (2x) × (y.)²)'

  (f × g)' = (2) × (y²) + (2x) × (2y(dy/dx))

  (f × g)' = 2ปี² + 4xy(dy/dx)

• บวกกับสมการหลักจะได้ 2x + 2y(dy/dx) - 5 + 8(dy/dx) + 2y² + 4xy(dy/dx) = 0

ขั้นตอนที่ 4. อยู่คนเดียว (dy/dx)

เกือบเสร็จแล้ว! ตอนนี้ สิ่งที่คุณต้องทำคือแก้สมการ (dy/dx) ดูเหมือนยาก แต่โดยปกติแล้วจะไม่เป็นเช่นนั้น - จำไว้ว่าสองเทอม a และ b คูณด้วย (dy/dx) สามารถเขียนเป็น (a + b)(dy/dx) เนื่องจากคุณสมบัติการกระจายของการคูณ กลวิธีนี้สามารถทำให้การแยก (dy/dx) ง่ายขึ้น - เพียงแค่ย้ายพจน์อื่นๆ ทั้งหมดที่อยู่อีกด้านหนึ่งของวงเล็บ จากนั้นหารด้วยเงื่อนไขในวงเล็บถัดจาก (dy/dx)

• ในตัวอย่างของเรา เราลดความซับซ้อนของ 2x + 2y(dy/dx) - 5 + 8(dy/dx) + 2y² + 4xy(dy/dx) = 0 ดังนี้:

  2x + 2y(dy/dx) - 5 + 8(dy/dx) + 2y² + 4xy(dy/dx) = 0

  (2y + 8 + 4xy)(dy/dx) + 2x - 5 + 2y² = 0

  (2y + 8 + 4xy)(dy/dx) = -2y² - 2x + 5

  (dy/dx) = (-2y.)² - 2x + 5)/(2y + 8 + 4xy)

  (dy/dx) = (-2y.)² - 2x + 5)/(2(2xy + y + 4)

วิธีที่ 2 จาก 2: การใช้เทคนิคขั้นสูง

ขั้นตอนที่ 1 ป้อนค่า (x, y) เพื่อค้นหา (dy/dx) สำหรับจุดใดๆ

ปลอดภัย! คุณได้รับสมการโดยปริยายแล้ว - ไม่ใช่เรื่องง่ายในการลองครั้งแรก! การใช้สมการนี้เพื่อค้นหาการไล่ระดับสี (dy/dx) ของจุดใดๆ (x, y) นั้นง่ายพอๆ กับการแทนค่า x และ y สำหรับจุดของคุณไปทางด้านขวาของสมการ แล้วจึงหา (dy/dx).

• ตัวอย่างเช่น สมมติว่าเราต้องการหาความลาดชันที่จุด (3, -4) สำหรับสมการตัวอย่างด้านบน ในการทำเช่นนั้น เราจะแทนที่ 3 สำหรับ x และ -4 สำหรับ y แก้ได้ดังนี้:

  (dy/dx) = (-2y.)² - 2x + 5)/(2(2xy + y + 4)

  (dy/dx) = (-2(-4)² - 2(3) + 5)/(2(2(3)(-4) + (-4) + 4)

  (dy/dx) = (-2(16) - 6 + 5)/(2(2(3)(-4))

  (dy/dx) = (-32) - 6 + 5)/(2(2(-12)))

  (dy/dx) = (-33)/(2(2(-12)))

  (dy/dx) = (-33)/(-48) = 3/48, หรือ 0, 6875.

ขั้นตอนที่ 2 ใช้กฎลูกโซ่สำหรับฟังก์ชันภายในฟังก์ชัน

กฎลูกโซ่เป็นความรู้ที่สำคัญที่ต้องมีเมื่อทำงานกับปัญหาแคลคูลัส (รวมถึงปัญหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันโดยปริยาย) กฎลูกโซ่ระบุว่าสำหรับฟังก์ชัน F(x) ซึ่งสามารถเขียนเป็น (f o g)(x) อนุพันธ์ของ F(x) เท่ากับ ฉ'(ก.(x))ก'(x). สำหรับปัญหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันโดยนัยที่ยาก หมายความว่าเป็นไปได้ที่จะได้ส่วนต่างๆ ของสมการแต่ละส่วน แล้วรวมผลลัพธ์เข้าด้วยกัน

• ยกตัวอย่างง่ายๆ สมมติว่าเราต้องหาอนุพันธ์ของบาป(3x² + x) เป็นส่วนหนึ่งของปัญหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันโดยนัยที่ใหญ่กว่าสำหรับสมการ sin(3x² +x) + y³ = 0. ถ้าเรานึกภาพบาป(3x² + x) เป็น f(x) และ 3x² + x เป็น g(x) เราสามารถหาอนุพันธ์ได้ดังนี้:

  ฉ'(ก.(x))ก'(x)

  (บาป(3x² + x))' × (3x² +x)'

  cos(3x² +x) × (6x + 1)

  (6x + 1)cos(3x.)² +x)

ขั้นตอนที่ 3 สำหรับสมการที่มีตัวแปร x, y และ z ให้ค้นหา (dz/dx) และ (dz/dy)

แม้ว่าแคลคูลัสพื้นฐานจะผิดปกติ แต่แอปพลิเคชั่นขั้นสูงบางตัวอาจต้องการการได้มาของฟังก์ชันโดยปริยายของตัวแปรมากกว่าสองตัว สำหรับตัวแปรเพิ่มเติมแต่ละตัว คุณต้องหาอนุพันธ์เพิ่มเติมเทียบกับ x ตัวอย่างเช่น หากคุณมี x, y และ z คุณควรค้นหาทั้ง (dz/dy) และ (dz/dx) เราทำได้โดยหาสมการเทียบกับ x สองครั้ง - อันดับแรก เราจะป้อน (dz/dx) ทุกครั้งที่เราได้เทอมที่มี z และวินาที เราจะแทรก (dz/dy) ทุกครั้งที่ได้มา ซี หลังจากนี้ก็แค่เรื่องของการแก้ (dz/dx) และ (dz/dy)

• ตัวอย่างเช่น สมมติว่าเรากำลังพยายามหา x³z² - 5xy⁵z = x² + y³.

• ก่อนอื่น มาเทียบกับ x และป้อน (dz/dx) อย่าลืมใช้กฎผลิตภัณฑ์หากจำเป็น!

  NS³z² - 5xy⁵z = x² + y³

  3x²z² + 2x³z(dz/dx) - 5y⁵z - 5xy⁵(dz/dx) = 2x

  3x²z² + (2x³z - 5xy⁵)(dz/dx) - 5y⁵z = 2x

  (2x³z - 5xy⁵)(dz/dx) = 2x - 3x²z² + 5 ปี⁵z

  (dz/dx) = (2x - 3x.)²z² + 5 ปี⁵ซ)/(2x³z - 5xy⁵)

• ตอนนี้ ทำเช่นเดียวกันสำหรับ (dz/dy)

  NS³z² - 5xy⁵z = x² + y³

  2x³z(dz/dy) - 25xy⁴z - 5xy⁵(dz/dy) = 3y²

  (2x³z - 5xy⁵)(dz/dy) = 3y² + 25xy⁴z

  (dz/dy) = (3y.)² + 25xy⁴ซ)/(2x³z - 5xy⁵)