รูปแบบรากเป็นคำสั่งเกี่ยวกับพีชคณิตที่มีเครื่องหมายของรากที่สอง (หรือรากที่สามหรือสูงกว่า) แบบฟอร์มนี้มักจะแสดงตัวเลขสองตัวที่มีค่าเท่ากัน แม้ว่าตัวเลขเหล่านั้นอาจดูต่างกันในแวบแรก (เช่น 1/(sqrt(2) - 1) = sqrt(2)+1) ดังนั้นเราจึงต้องการ "สูตรมาตรฐาน" สำหรับแบบฟอร์มประเภทนี้ หากมีสองข้อความ ทั้งในสูตรมาตรฐาน ที่ปรากฏต่างกัน จะไม่เหมือนกัน นักคณิตศาสตร์ยอมรับว่าสูตรมาตรฐานของรูปแบบกำลังสองเป็นไปตามข้อกำหนดต่อไปนี้:
- หลีกเลี่ยงการใช้เศษส่วน
- อย่าใช้กำลังเศษส่วน
- หลีกเลี่ยงการใช้รูปแบบรากในตัวส่วน
- ไม่มีการคูณของสองรูปแบบราก
- รูทเบอร์ใต้รูทไม่ได้แล้ว
การใช้งานจริงอย่างหนึ่งคือการสอบแบบเลือกตอบ เมื่อคุณพบคำตอบ แต่คำตอบของคุณไม่เหมือนกับตัวเลือกที่มี ให้พยายามลดความซับซ้อนลงในสูตรมาตรฐาน เนื่องจากผู้ตั้งคำถามมักจะเขียนคำตอบในสูตรมาตรฐาน ให้ทำเช่นเดียวกันกับคำตอบของคุณเพื่อให้ตรงกับคำตอบของพวกเขา ในคำถามเรียงความ คำสั่งเช่น "simplify your answer" หรือ "simplify all root all" หมายความว่านักเรียนต้องทำตามขั้นตอนต่อไปนี้จนกว่าจะได้สูตรมาตรฐานตามข้างต้น ขั้นตอนนี้ยังสามารถใช้เพื่อแก้สมการ แม้ว่าสมการบางประเภทจะแก้ได้ง่ายกว่าในสูตรที่ไม่ได้มาตรฐาน
ขั้นตอน
ขั้นตอนที่ 1 หากจำเป็น ให้ทบทวนกฎสำหรับการดำเนินการของรากและเลขชี้กำลัง (ทั้งสองมีค่าเท่ากัน - รากเป็นกำลังของเศษส่วน) ตามที่เราต้องการในกระบวนการนี้
ทบทวนกฎสำหรับการทำให้พหุนามและรูปแบบตรรกยะอย่างง่าย เนื่องจากเราจะต้องทำให้เข้าใจง่ายขึ้น
วิธีที่ 1 จาก 6: Perfect Squares
ขั้นตอนที่ 1 ลดความซับซ้อนของรากทั้งหมดที่มีกำลังสองสมบูรณ์
กำลังสองสมบูรณ์เป็นผลคูณของตัวเลข ตัวอย่างเช่น 81 ซึ่งเป็นผลคูณของ 9 x 9 ในการทำให้กำลังสองสมบูรณ์ง่ายขึ้น เพียงเอารากที่สองออกแล้วจดรากที่สองของตัวเลขนั้นลงไป
- ตัวอย่างเช่น 121 เป็นกำลังสองสมบูรณ์เพราะ 11 x 11 เท่ากับ 121 ดังนั้น คุณสามารถลดรูปราก (121) เป็น 11 ได้โดยเอาเครื่องหมายรากออก
- เพื่อให้ขั้นตอนนี้ง่ายขึ้น คุณจะต้องจำกำลังสองสมบูรณ์สิบสองอันแรก: 1 x 1 = 1, 2 x 2 = 4, 3 x 3 = 9, 4 x 4 = 16, 5 x 5 = 25, 6 x 6 = 36, 7 x 7 = 49, 8 x 8 = 64, 9 x 9 = 81, 10 x 10 = 100, 11 x 11 = 121, 12 x 12 = 144
ขั้นตอนที่ 2 ลดความซับซ้อนของรากทั้งหมดที่มีลูกบาศก์ที่สมบูรณ์แบบ
ลูกบาศก์สมบูรณ์เป็นผลคูณของการคูณตัวเลขด้วยตัวมันเองสองครั้ง เช่น 27 ซึ่งเป็นผลคูณของ 3 x 3 x 3 ในการทำให้รูปแบบรากของลูกบาศก์สมบูรณ์ง่ายขึ้น เพียงแค่เอาสแควร์รูทออกแล้วจดสแควร์รูท ของจำนวน
ตัวอย่างเช่น 343 เป็นลูกบาศก์ที่สมบูรณ์แบบเพราะเป็นผลคูณของ 7 x 7 x 7 ดังนั้นรากที่สามของ 343 จึงเป็น 7
วิธีที่ 2 จาก 6: การแปลงเศษส่วนเป็นราก
หรือเปลี่ยนวิธีอื่น (บางครั้งก็ช่วยได้) แต่อย่าผสมมันในคำสั่งเดียวกันกับ root(5) + 5^(3/2) เราจะถือว่าคุณต้องการใช้รูปแบบรากและเราจะใช้สัญลักษณ์ root(n) สำหรับรากที่สองและ sqrt^3(n) สำหรับรากที่สาม
ขั้นตอนที่ 1 นำหนึ่งยกกำลังของเศษส่วนแล้วแปลงเป็นรูปแบบรูท เช่น x^(a/b) = รูทเป็น b ยกกำลังของ x^a
ถ้ารากที่สองอยู่ในรูปเศษส่วน ให้แปลงเป็นรูปแบบปกติ ตัวอย่างเช่น รากที่สอง (2/3) ของ 4 = รูท(4)^3 = 2^3 = 8
ขั้นตอนที่ 2 แปลงเลขชี้กำลังลบเป็นเศษส่วน เช่น x^-y = 1/x^y
สูตรนี้ใช้กับเลขชี้กำลังคงที่และมีเหตุผลเท่านั้น หากคุณกำลังจัดการกับรูปแบบเช่น 2^x อย่าเปลี่ยนแม้ว่าปัญหาจะระบุว่า x สามารถเป็นเศษส่วนหรือจำนวนลบได้
ขั้นตอนที่ 3 รวมเผ่าเดียวกัน และลดความซับซ้อนของรูปแบบตรรกยะที่ได้
วิธีที่ 3 จาก 6: การกำจัดเศษส่วนในราก
สูตรมาตรฐานกำหนดให้รูทเป็นจำนวนเต็ม
ขั้นตอนที่ 1 ดูตัวเลขใต้รากที่สองหากยังมีเศษส่วนอยู่
ถ้ายัง…
ขั้นตอนที่ 2 เปลี่ยนเป็นเศษส่วนที่ประกอบด้วยสองรากโดยใช้เอกลักษณ์ root(a/b) = sqrt(a)/sqrt(b)
อย่าใช้เอกลักษณ์นี้หากตัวส่วนเป็นค่าลบ หรือถ้าเป็นตัวแปรที่อาจเป็นค่าลบ ในกรณีนี้ ให้ลดรูปเศษส่วนก่อน
ขั้นตอนที่ 3 ลดความซับซ้อนของผลลัพธ์แต่ละสแควร์ที่สมบูรณ์แบบ
นั่นคือแปลง sqrt(5/4) เป็น sqrt(5)/sqrt(4) จากนั้นลดความซับซ้อนเป็น sqrt(5)/2
ขั้นตอนที่ 4 ใช้วิธีการลดรูปอื่นๆ เช่น การลดรูปเศษส่วนที่ซับซ้อน รวมพจน์ที่เท่ากัน เป็นต้น
วิธีที่ 4 จาก 6: การรวมรากการคูณ
ขั้นตอนที่ 1 หากคุณกำลังคูณแบบฟอร์มรูทหนึ่งด้วยอีกรูปแบบหนึ่ง ให้รวมสองรูททั้งสองเข้าด้วยกันโดยใช้สูตร:
sqrt(a)*sqrt(b) = sqrt(ab) ตัวอย่างเช่น เปลี่ยน root(2)*root(6) เป็น root(12)
- ข้อมูลประจำตัวด้านบน sqrt(a)*sqrt(b) = sqrt(ab) ถูกต้องถ้าตัวเลขที่อยู่ใต้เครื่องหมายของ sqrt ไม่เป็นค่าลบ อย่าใช้สูตรนี้เมื่อ a และ b เป็นค่าลบ เพราะคุณจะทำผิดพลาดในการสร้าง sqrt(-1)*sqrt(-1) = sqrt(1) คำสั่งทางด้านซ้ายเท่ากับ -1 (หรือไม่ได้กำหนดไว้หากคุณไม่ใช้จำนวนเชิงซ้อน) ในขณะที่คำสั่งทางขวาคือ +1 ถ้า a และ/หรือ b เป็นค่าลบ ให้ "เปลี่ยน" เครื่องหมายก่อน เช่น sqrt(-5) = i*sqrt(5) หากแบบฟอร์มภายใต้เครื่องหมายรูทเป็นตัวแปรที่ไม่ทราบเครื่องหมายจากบริบทหรืออาจเป็นค่าบวกหรือค่าลบ ให้ปล่อยไว้อย่างที่เป็นอยู่ในขณะนี้ คุณสามารถใช้เอกลักษณ์ทั่วไปมากขึ้น sqrt(a)*sqrt(b) = sqrt(sgn(a))*sqrt(sgn(b))*sqrt(|ab|) ซึ่งใช้กับจำนวนจริงทั้งหมด a และ b แต่โดยปกติสูตรนี้ไม่ได้ช่วยอะไรมากเพราะจะเพิ่มความซับซ้อนให้กับการใช้ฟังก์ชัน sgn (signum)
- เอกลักษณ์นี้ใช้ได้ก็ต่อเมื่อรูปแบบของรากมีเลขชี้กำลังเท่ากัน คุณสามารถคูณรากที่สองที่แตกต่างกัน เช่น sqrt(5)*sqrt^3(7) โดยแปลงให้เป็นรากที่สองเดียวกัน เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้แปลงรากที่สองเป็นเศษส่วนชั่วคราว: sqrt(5)*sqrt^3(7) = 5^(1/2) * 7^(1/3) = 5^(3/6) * 7 ^(2/6) = 125^(1/6) * 49^(1/6) จากนั้นใช้กฎการคูณเพื่อคูณทั้งสองเข้ากับรากที่สองของ 6125
วิธีที่ 5 จาก 6: การลบสแควร์แฟคเตอร์ออกจากรูท
ขั้นตอนที่ 1 การแยกตัวประกอบรากที่ไม่สมบูรณ์ออกเป็นปัจจัยเฉพาะ
ตัวประกอบคือตัวเลขที่เมื่อคูณด้วยจำนวนอื่นแล้วจะเป็นตัวเลข ตัวอย่างเช่น 5 และ 4 เป็นตัวประกอบของ 20 สองตัว หากต้องการแยกรากที่ไม่สมบูรณ์ ให้เขียนตัวประกอบทั้งหมดของตัวเลขนั้น (หรือมากที่สุดเท่าที่เป็นไปได้ ถ้า จำนวนที่มากเกินไป) จนกว่าคุณจะพบกำลังสองที่สมบูรณ์แบบ
ตัวอย่างเช่น พยายามหาตัวประกอบทั้งหมดของ 45: 1, 3, 5, 9, 15 และ 45 9 เป็นตัวประกอบของ 45 และเป็นกำลังสองสมบูรณ์ด้วย (9=3^2) 9 x 5 = 45
ขั้นตอนที่ 2 ลบตัวคูณทั้งหมดที่เป็นกำลังสองสมบูรณ์ออกจากภายในรากที่สอง
9 เป็นกำลังสองสมบูรณ์เพราะเป็นผลคูณของ 3 x 3 นำ 9 ออกจากสแควร์รูทแล้วแทนที่ด้วย 3 ข้างหน้าสแควร์รูท โดยเหลือ 5 ไว้ในสแควร์รูท หากคุณ "ใส่" 3 กลับเข้าไปในรากที่สอง ให้คูณด้วยตัวมันเองเพื่อให้ได้ 9 และถ้าคุณคูณด้วย 5 ผลลัพธ์ที่ได้คือ 45 3 รากของ 5 เป็นวิธีง่ายๆ ในการแสดงรากของ 45
นั่นคือ sqrt(45) = sqrt(9*5) = sqrt(9)*sqrt(5) = 3*sqrt(5)
ขั้นตอนที่ 3 ค้นหากำลังสองที่สมบูรณ์แบบในตัวแปร
สแควร์รูทของ a กำลังสอง คือ |a|. คุณสามารถลดความซับซ้อนนี้ให้เหลือเพียง "a" หากตัวแปรที่ทราบเป็นค่าบวก สแควร์รูทของ a ยกกำลัง 3 เมื่อแยกเป็นสแควร์รูทของ a กำลังสอง คูณ a -- จำไว้ว่าเลขชี้กำลังรวมกันเมื่อเราคูณตัวเลขสองตัวยกกำลัง a ดังนั้น a กำลังสองคูณ a เท่ากับ a ยกกำลัง พลังที่สาม
ดังนั้นกำลังสองสมบูรณ์ในรูปกำลังสองคือกำลังสอง
ขั้นตอนที่ 4 ลบตัวแปรที่มีกำลังสองสมบูรณ์ออกจากรากที่สอง
ทีนี้ หาค่ากำลังสองจากรากที่สองแล้วเปลี่ยนเป็น |a|. รูปแบบง่าย ๆ ของราก a ยกกำลัง 3 คือ |a| ราก
ขั้นตอนที่ 5. รวมพจน์ที่เท่ากันและทำให้รากทั้งหมดของผลการคำนวณง่ายขึ้น
วิธีที่ 6 จาก 6: หาเหตุผลให้ตัวส่วน
ขั้นตอนที่ 1 สูตรมาตรฐานกำหนดให้ตัวส่วนเป็นจำนวนเต็ม (หรือพหุนามหากมีตัวแปร) ให้มากที่สุด
-
หากตัวส่วนประกอบด้วยหนึ่งพจน์ภายใต้เครื่องหมายรูท เช่น […]/root(5) ให้คูณทั้งตัวเศษและตัวส่วนด้วยรูทนั้นเพื่อรับ […]*sqrt(5)/sqrt(5)*sqrt (5) = […]*root(5)/5.
สำหรับรากที่สามหรือสูงกว่า ให้คูณด้วยรากที่เหมาะสมเพื่อให้ตัวส่วนเป็นจำนวนตรรกยะ หากตัวส่วนเป็นรูท^3(5) ให้คูณตัวเศษและตัวส่วนด้วย sqrt^3(5)^2
-
หากตัวส่วนประกอบด้วยการบวกหรือลบรากที่สองสองอัน เช่น sqrt(2) + sqrt(6) ให้คูณตัวหารและตัวส่วนด้วยคอนจูเกตซึ่งมีรูปแบบเดียวกัน แต่มีเครื่องหมายตรงข้าม จากนั้น […]/(root(2) + root(6)) = […](root(2)-root(6))/(root(2) + root(6))(root(2)-root (6)). จากนั้นใช้สูตรเอกลักษณ์สำหรับผลต่างของสี่เหลี่ยมสองช่อง [(a+b)(ab) = a^2-b^2] เพื่อหาเหตุผลเข้าข้างตัวส่วน เพื่อลดความซับซ้อน (sqrt(2) + sqrt(6))(sqrt(2) -sqrt(6)) = sqrt(2)^2 - sqrt(6)^2 = 2-6 = -4
- นอกจากนี้ยังใช้กับตัวส่วนเช่น 5 + sqrt(3) เนื่องจากจำนวนเต็มทั้งหมดเป็นรากของจำนวนเต็มอื่น [1/(5 + sqrt(3)) = (5-sqrt(3))/(5 + sqrt(3))(5-sqrt(3)) = (5-sqrt(3))/(5^ 2-sqrt(3)^2) = (5-sqrt(3))/(25-3) = (5-sqrt(3))/22]
- วิธีนี้ยังใช้กับการเพิ่มรากเช่น sqrt(5)-sqrt(6)+sqrt(7) หากคุณจัดกลุ่มเป็น (sqrt(5)-sqrt(6))+sqrt(7) และคูณด้วย (sqrt(5)-sqrt(6))-sqrt(7) คำตอบจะไม่อยู่ในรูปแบบตรรกยะ แต่ ยังอยู่ใน a+b*root(30) โดยที่ a และ b เป็นจำนวนตรรกยะแล้ว จากนั้นทำซ้ำขั้นตอนด้วยคอนจูเกต a+b*sqrt(30) และ (a+b*sqrt(30))(a-b*sqrt(30)) จะมีเหตุผล โดยพื้นฐานแล้ว ถ้าคุณสามารถใช้เคล็ดลับนี้เพื่อลบเครื่องหมายรูทหนึ่งอันในตัวส่วน คุณสามารถทำซ้ำหลายๆ ครั้งเพื่อลบรูททั้งหมด
- วิธีนี้ยังสามารถใช้สำหรับตัวส่วนที่มีรากที่สูงกว่า เช่น รากที่สี่ของ 3 หรือรากที่เจ็ดของ 9 คูณตัวเศษและตัวส่วนด้วยคอนจูเกตของตัวส่วน น่าเสียดายที่เราไม่สามารถหาคอนจูเกตของตัวส่วนได้โดยตรง และทำได้ยาก เราสามารถหาคำตอบได้ในหนังสือพีชคณิตเกี่ยวกับทฤษฎีจำนวน แต่ฉันจะไม่พูดถึงเรื่องนั้น
ขั้นตอนที่ 2 ตอนนี้ตัวส่วนอยู่ในรูปแบบตรรกยะ แต่ตัวเศษดูไม่เป็นระเบียบ
ตอนนี้สิ่งที่คุณต้องทำคือคูณมันด้วยคอนจูเกตของตัวส่วน ไปข้างหน้าและคูณเหมือนที่เราจะคูณพหุนาม ตรวจสอบเพื่อดูว่าสามารถละเว้น ทำให้ง่ายขึ้น หรือรวมกันได้หรือไม่ ถ้าเป็นไปได้
ขั้นตอนที่ 3 หากตัวส่วนเป็นจำนวนเต็มลบ ให้คูณทั้งตัวเศษและส่วนด้วย -1 เพื่อให้เป็นบวก
เคล็ดลับ
- คุณสามารถค้นหาไซต์ออนไลน์ที่สามารถช่วยลดความซับซ้อนของฟอร์มรูทได้ เพียงพิมพ์สมการด้วยเครื่องหมายรูท และหลังจากกด Enter คำตอบก็จะปรากฏขึ้น
- สำหรับคำถามที่ง่ายกว่านี้ คุณไม่สามารถใช้ขั้นตอนทั้งหมดในบทความนี้ได้ สำหรับคำถามที่ซับซ้อนกว่านี้ คุณอาจต้องใช้หลายขั้นตอนมากกว่าหนึ่งครั้ง ใช้ขั้นตอน "ง่าย" สองสามครั้ง และตรวจดูว่าคำตอบของคุณตรงกับเกณฑ์การกำหนดสูตรมาตรฐานที่เราพูดถึงก่อนหน้านี้หรือไม่ ถ้าคำตอบของคุณอยู่ในสูตรมาตรฐาน แสดงว่าคุณทำเสร็จแล้ว แต่ถ้าไม่ใช่ คุณสามารถตรวจสอบขั้นตอนใดขั้นตอนหนึ่งข้างต้นเพื่อช่วยให้คุณดำเนินการได้สำเร็จ
- การอ้างอิงถึง "สูตรมาตรฐานที่แนะนำ" ส่วนใหญ่สำหรับรูปแบบของรากยังใช้กับจำนวนเชิงซ้อนด้วย (i = root(-1)) แม้ว่าคำสั่งจะมีตัว "i" แทนที่จะเป็นรูท ให้หลีกเลี่ยงตัวหารที่ยังคงมี i อยู่ให้มากที่สุด
- คำแนะนำบางส่วนในบทความนี้ถือว่ารากทั้งหมดเป็นกำลังสอง หลักการทั่วไปเดียวกันนี้ใช้กับรากเหง้าของอำนาจที่สูงกว่า แม้ว่าบางส่วน (โดยเฉพาะอย่างยิ่งการหาเหตุผลเข้าข้างตนเองตัวส่วน) อาจใช้งานได้ค่อนข้างยาก ตัดสินใจด้วยตัวเองว่าต้องการรูปร่างแบบไหน เช่น sqr^3(4) หรือ sqr^3(2)^2 (ฉันจำไม่ได้ว่าปกติแล้วหนังสือแนะนำแบบไหน)
- คำแนะนำบางส่วนในบทความนี้ใช้คำว่า "สูตรมาตรฐาน" เพื่ออธิบาย "รูปแบบปกติ" ข้อแตกต่างคือสูตรมาตรฐานยอมรับเฉพาะรูปแบบ 1+sqrt(2) หรือ sqrt(2)+1 และถือว่ารูปแบบอื่นไม่ได้มาตรฐาน รูปแบบธรรมดาถือว่าคุณผู้อ่านฉลาดพอที่จะเห็น "ความคล้ายคลึง" ของตัวเลขสองตัวนี้แม้ว่าจะไม่เหมือนกันในการเขียน (หมายถึง 'เหมือนกัน' ในคุณสมบัติทางคณิตศาสตร์ของพวกเขา (การบวกเปลี่ยน) ไม่ใช่คุณสมบัติเกี่ยวกับพีชคณิต (รูท) (2) เป็นรากที่ไม่เป็นลบของ x^2-2)) เราหวังว่าผู้อ่านจะเข้าใจความประมาทเล็กน้อยในการใช้คำศัพท์นี้
- หากเบาะแสใดๆ ดูเหมือนคลุมเครือหรือขัดแย้ง ให้ทำตามขั้นตอนทั้งหมดที่ไม่คลุมเครือและสม่ำเสมอ จากนั้นเลือกรูปแบบที่คุณต้องการ