วิธีการกำหนดดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์ 3X3: 11 ขั้นตอน (พร้อมรูปภาพ)

2024 ผู้เขียน: Jason Gerald | [email protected]. แก้ไขล่าสุด: 2024-01-15 08:25

ดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์มักใช้ในแคลคูลัส พีชคณิตเชิงเส้น และเรขาคณิตในระดับที่สูงกว่า นอกแวดวงวิชาการ วิศวกรและโปรแกรมเมอร์กราฟิกคอมพิวเตอร์ใช้เมทริกซ์และดีเทอร์มิแนนต์ตลอดเวลา หากคุณรู้วิธีกำหนดดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์ของลำดับ 2x2 แล้ว คุณเพียงแค่ต้องเรียนรู้ว่าเมื่อใดควรใช้การบวก การลบ และเวลาเพื่อกำหนดดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์ของลำดับ 3x3

ขั้นตอน

ส่วนที่ 1 จาก 2: การกำหนดดีเทอร์มิแนนต์

เขียนเมทริกซ์คำสั่ง 3 x 3 ของคุณ เราจะเริ่มต้นด้วยเมทริกซ์ A ของคำสั่ง 3x3 และพยายามหาดีเทอร์มีแนนต์ |A| ด้านล่างนี้คือรูปแบบทั่วไปของสัญกรณ์เมทริกซ์ที่เราจะใช้และตัวอย่างของเมทริกซ์ของเรา:

		NS11	NS12	NS13		1	5	3
NS	=	NS21	NS22	NS23	=	2	4	7
		NS31	NS32	NS33		4	6	2

ขั้นตอนที่ 1 เลือกแถวหรือคอลัมน์

ทำการเลือกของคุณเป็นแถวหรือคอลัมน์อ้างอิง ไม่ว่าคุณจะเลือกอะไร คุณก็จะได้คำตอบเหมือนเดิม เลือกแถวแรกชั่วคราว เราจะให้คำแนะนำในการเลือกตัวเลือกการคำนวณที่ง่ายที่สุดในหัวข้อถัดไป

เลือกแถวแรกของเมทริกซ์ตัวอย่าง A. วงกลมตัวเลข 1 5 3. ในสัญกรณ์ทั่วไป วงกลม a₁₁ NS₁₂ NS₁₃.

ขั้นตอนที่ 2 ขีดฆ่าแถวและคอลัมน์ขององค์ประกอบแรกของคุณ

ดูแถวหรือคอลัมน์ที่คุณวงกลมและเลือกองค์ประกอบแรก ขีดฆ่าแถวและคอลัมน์ จะเหลือเพียง 4 หมายเลขเท่านั้นที่ไม่มีใครแตะต้อง ทำให้ตัวเลข 4 ตัวนี้เป็นเมทริกซ์ลำดับ 2 x 2

• ในตัวอย่าง แถวอ้างอิงคือ 1 5 3 องค์ประกอบแรกอยู่ในแถวที่ 1 และคอลัมน์ที่ 1 ขีดฆ่าทั้งแถวที่ 1 และคอลัมน์ที่ 1 เขียนองค์ประกอบที่เหลือลงในเมทริกซ์ขนาด 2 x 2:
• 1 5 3
• 2 4 7
• 4 6 2

ขั้นตอนที่ 3 กำหนดดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์ลำดับ 2 x 2

จำไว้ว่า จงหาดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์ [^{NS_ค NS_NS] โดย โฆษณา - bc. คุณอาจได้เรียนรู้การกำหนดดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์โดยการวาด X ระหว่างเมทริกซ์ขนาด 2 x 2 คูณตัวเลขสองตัวที่เชื่อมต่อกันด้วยเส้น / ของ X จากนั้นลบจำนวนครั้งที่ตัวเลขทั้งสองเชื่อมต่อกันด้วยเส้น / เป็น. ใช้สูตรนี้เพื่อคำนวณดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์ขนาด 2 x 2}

• ในตัวอย่าง ดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์ [^{4₆ 7₂}] = 4*2 - 7*6 = - 34.
• ดีเทอร์มิแนนต์นี้เรียกว่า ผู้เยาว์ ขององค์ประกอบที่คุณเลือกในเมทริกซ์เริ่มต้น ในกรณีนี้ เราเพิ่งพบตัวรองของ a₁₁.

ขั้นตอนที่ 4 คูณตัวเลขที่พบโดยองค์ประกอบที่คุณเลือก

จำไว้ว่าคุณได้เลือกองค์ประกอบจากแถวอ้างอิง (หรือคอลัมน์) เมื่อคุณตัดสินใจว่าจะขีดฆ่าแถวและคอลัมน์ใด คูณองค์ประกอบนี้ด้วยดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์ 2 x 2 ที่คุณพบ

ในตัวอย่าง เราเลือก a₁₁ ซึ่งก็คือ 1 คูณตัวเลขนี้ด้วย -34 (ดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์ 2 x 2) เพื่อให้ได้ 1*-34 = - 34.

ขั้นตอนที่ 5. กำหนดสัญลักษณ์ของคำตอบของคุณ

ขั้นตอนต่อไปคือคุณต้องคูณคำตอบของคุณด้วย 1 หรือ -1 เพื่อรับ ปัจจัยร่วม ขององค์ประกอบที่คุณเลือก สัญลักษณ์ที่คุณใช้ขึ้นอยู่กับองค์ประกอบที่อยู่ในเมทริกซ์ 3 x 3 โปรดจำไว้ว่า ตารางสัญลักษณ์นี้ใช้เพื่อกำหนดตัวคูณขององค์ประกอบของคุณ:

• + - +
• - + -
• + - +
• เพราะเราเลือก₁₁ ซึ่งมีเครื่องหมาย + เราจะคูณตัวเลขด้วย +1 (หรืออีกนัยหนึ่งคือ ห้ามเปลี่ยน) คำตอบที่ปรากฏก็จะเหมือนกันคือ - 34.
• อีกวิธีในการกำหนดสัญลักษณ์คือการใช้สูตร (-1) ^{i+j โดยที่ i และ j เป็นองค์ประกอบแถวและคอลัมน์}

ขั้นตอนที่ 6 ทำซ้ำขั้นตอนนี้สำหรับองค์ประกอบที่สองในแถวหรือคอลัมน์อ้างอิงของคุณ

กลับไปที่เมทริกซ์ 3 x 3 เดิมที่คุณวนรอบแถวหรือคอลัมน์ก่อนหน้านี้ ทำซ้ำขั้นตอนเดียวกันกับองค์ประกอบ:

• ขีดฆ่าแถวและคอลัมน์ขององค์ประกอบ

  ในกรณีนี้ เลือกองค์ประกอบ a₁₂ (ซึ่งมีค่าเท่ากับ 5) ขีดฆ่าแถวที่ 1 (1 5 3) และคอลัมน์ที่ 2 (5 4 6)

• เปลี่ยนองค์ประกอบที่เหลือให้เป็นเมทริกซ์ขนาด 2x2

  ในตัวอย่างของเรา เมทริกซ์ลำดับ 2x2 สำหรับองค์ประกอบที่สองคือ [²₄ ⁷₂].

• หาดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์ 2x2 นี้

  ใช้สูตรโฆษณา - bc (2*2 - 7*4 = -24)

• คูณด้วยองค์ประกอบของเมทริกซ์ 3x3 ที่คุณเลือก

  -24 * 5 = -120

• ตัดสินใจว่าจะคูณผลลัพธ์ข้างต้นด้วย -1 หรือไม่

  ใช้ตารางสัญลักษณ์หรือสูตร (-1)^อิจ. เลือกองค์ประกอบ a₁₂ สัญลักษณ์ – ในตารางสัญลักษณ์ แทนที่สัญลักษณ์คำตอบของเราด้วย: (-1)*(-120) = 120.

ขั้นตอนที่ 7 ทำซ้ำขั้นตอนเดียวกันสำหรับองค์ประกอบที่สาม

คุณมีปัจจัยร่วมอีกหนึ่งตัวในการหาดีเทอร์มีแนนต์ นับ i สำหรับองค์ประกอบที่สามในแถวหรือคอลัมน์อ้างอิงของคุณ นี่เป็นวิธีที่รวดเร็วในการคำนวณโคแฟกเตอร์ a₁₃ ในตัวอย่างของเรา:

• ขีดฆ่าแถวที่ 1 และคอลัมน์ที่ 3 เพื่อรับ [²₄ ⁴₆].
• ดีเทอร์มีแนนต์คือ 2*6 - 4*4 = -4
• คูณด้วยองค์ประกอบ a₁₃: -4 * 3 = -12.
• องค์ประกอบ₁₃ สัญลักษณ์ + ในตารางสัญลักษณ์ ดังนั้นคำตอบคือ - 12.

ขั้นตอนที่ 8 เพิ่มผลลัพธ์ของการนับทั้งสามของคุณ

นี่เป็นขั้นตอนสุดท้าย คุณได้คำนวณโคแฟคเตอร์สามตัว หนึ่งตัวสำหรับแต่ละองค์ประกอบในแถวหรือคอลัมน์ บวกผลลัพธ์เหล่านั้นเข้าไป แล้วคุณจะพบดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์ขนาด 3 x 3

ในตัวอย่าง ดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์คือ - 34 + 120 + - 12 = 74.

ส่วนที่ 2 จาก 2: ทำให้การแก้ปัญหาง่ายขึ้น

ขั้นตอนที่ 1 เลือกแถวหรือคอลัมน์ของข้อมูลอ้างอิงที่มี 0 มากที่สุด

จำไว้ว่าคุณสามารถเลือกแถวหรือคอลัมน์ใดก็ได้ที่คุณต้องการ ไม่ว่าคุณจะเลือกอะไร คำตอบก็จะเหมือนกัน หากคุณเลือกแถวหรือคอลัมน์ที่มีตัวเลข 0 คุณจะต้องคำนวณปัจจัยร่วมที่มีองค์ประกอบที่ไม่ใช่ 0 เพราะ:

• ตัวอย่างเช่น เลือกแถวที่ 2 ที่มีองค์ประกอบ a₂₁, NS₂₂, กองทุน₂₃. เพื่อแก้ปัญหานี้ เราจะใช้เมทริกซ์ 2 x 2 ต่างกัน 3 ตัว สมมุติว่า A₂₁, NS₂₂, คุณ₂₃.
• ดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์ 3x3 คือ a₂₁|เอ₂₁| - NS₂₂|เอ₂₂| +₂₃|เอ₂₃|.
• ถ้า₂₂ กองทุน₂₃ ค่า 0 สูตรที่มีอยู่จะเป็น a₂₁|เอ₂₁| - 0*|อา₂₂| + 0*|A₂₃| =₂₁|เอ₂₁| - 0 + 0 = a₂₁|เอ₂₁|. ดังนั้นเราจะคำนวณปัจจัยร่วมขององค์ประกอบเดียวเท่านั้น

ขั้นตอนที่ 2 ใช้แถวพิเศษเพื่อทำให้ปัญหาเมทริกซ์ง่ายขึ้น

หากคุณนำค่าจากแถวหนึ่งมาบวกกับอีกแถวหนึ่ง ดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์จะไม่เปลี่ยนแปลง เช่นเดียวกับคอลัมน์ คุณสามารถทำได้ซ้ำๆ หรือคูณด้วยค่าคงที่ก่อนบวกมันเพื่อให้ได้ 0 ในเมทริกซ์มากที่สุด นี้สามารถประหยัดเวลาได้มาก

• ตัวอย่างเช่น คุณมีเมทริกซ์ที่มี 3 แถว: [9 -1 2] [3 1 0] [7 5 -2]
• เพื่อขจัดเลข 9 ซึ่งอยู่ในตำแหน่ง a₁₁คุณสามารถคูณค่าในแถวที่ 2 ด้วย -3 และเพิ่มผลลัพธ์ในแถวแรก ตอนนี้ บรรทัดแรกใหม่คือ [9 -1 2] + [-9 -3 0] = [0 -4 2]
• เมทริกซ์ใหม่มีแถว [0 -4 2] [3 1 0] [7 5 -2] ใช้เคล็ดลับเดียวกันนี้กับคอลัมน์เพื่อสร้าง a₁₂ เป็นเลข 0

ขั้นตอนที่ 3 ใช้วิธีการด่วนสำหรับเมทริกซ์สามเหลี่ยม

ในกรณีพิเศษนี้ ดีเทอร์มีแนนต์เป็นผลคูณขององค์ประกอบบนเส้นทแยงมุมหลักของ a₁₁ ที่ด้านบนซ้ายไปยัง a₃₃ ที่ด้านล่างขวาของเมทริกซ์ เมทริกซ์นี้ยังคงเป็นเมทริกซ์ 3x3 แต่เมทริกซ์ "สามเหลี่ยม" มีรูปแบบพิเศษของตัวเลขที่ไม่ใช่ 0:

• เมทริกซ์สามเหลี่ยมบน: องค์ประกอบทั้งหมดที่ไม่ใช่ 0 อยู่บนหรือเหนือเส้นทแยงมุมหลัก ตัวเลขทั้งหมดที่อยู่ใต้เส้นทแยงมุมหลักคือ 0
• เมทริกซ์สามเหลี่ยมด้านล่าง: องค์ประกอบทั้งหมดที่ไม่ใช่ 0 อยู่บนหรือด้านล่างเส้นทแยงมุมหลัก
• เมทริกซ์แนวทแยง: องค์ประกอบทั้งหมดที่ไม่ใช่ 0 อยู่บนเส้นทแยงมุมหลัก (ชุดย่อยของเมทริกซ์ประเภทข้างต้น)

เคล็ดลับ

• หากองค์ประกอบทั้งหมดในแถวหรือคอลัมน์เป็น 0 ดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์จะเป็น 0
• วิธีนี้ใช้ได้กับเมทริกซ์กำลังสองทุกขนาด ตัวอย่างเช่น หากคุณใช้วิธีนี้สำหรับเมทริกซ์ของคำสั่ง 4x4 "การประท้วง" ของคุณจะปล่อยให้เมทริกซ์ของลำดับ 3x3 ซึ่งดีเทอร์มีแนนต์สามารถกำหนดได้โดยทำตามขั้นตอนด้านบน จำไว้ว่าการทำเช่นนี้อาจน่าเบื่อ!