วิธีแก้ปัญหารากที่สอง (พร้อมรูปภาพ)

2024 ผู้เขียน: Jason Gerald | [email protected]. แก้ไขล่าสุด: 2024-01-15 08:25

แม้ว่าบางครั้งอาจดูน่ากลัว แต่ปัญหารากที่สองก็แก้ไขได้ไม่ยาก ปัญหารากที่สองอย่างง่ายมักจะสามารถแก้ไขได้ง่ายเหมือนกับปัญหาการคูณและการหารขั้นพื้นฐาน สำหรับคำถามที่ซับซ้อนกว่านี้ ต้องใช้ความพยายามเพิ่มขึ้นเล็กน้อย แต่ด้วยแนวทางที่ถูกต้อง ปัญหายากๆ ก็สามารถแก้ไขได้ ในบทความนี้ เราจะช่วยคุณแก้ปัญหารากที่สองในไม่กี่ขั้นตอนง่ายๆ

ขั้นตอน

ส่วนที่ 1 จาก 3: ทำความเข้าใจเกี่ยวกับสแควร์และรูท

ขั้นตอนที่ 1 สี่เหลี่ยมจัตุรัสคือจำนวนที่คูณด้วยตัวมันเอง

เพื่อให้เข้าใจรากที่สอง เป็นการดีที่จะเข้าใจความหมายของกำลังสองก่อน พูดง่ายๆ ว่า สี่เหลี่ยมจัตุรัสคือตัวเลขคูณด้วยตัวมันเอง ตัวอย่างเช่น 3 กำลังสองคือ 3 คูณ 3 = 9 และ 9 กำลังสองคือ 9 คูณ 9 = 81 สี่เหลี่ยมจัตุรัสแสดงด้วยเลข 2 ขนาดเล็กที่ด้านบนขวาของตัวเลขกำลังสอง - แบบนี้: 3², 9², 100²ฯลฯ

ลองยกกำลังสองตัวเลขอื่นเพื่อทดสอบแนวคิดนี้ จำไว้ว่า การยกกำลังสองตัวเลขเป็นการคูณตัวเลขด้วยตัวมันเอง คุณยังสามารถยกกำลังสองจำนวนลบ ผลลัพธ์จะเป็นจำนวนบวกเสมอ ตัวอย่างเช่น -8² = -8 × -8 = 64.

ขั้นตอนที่ 2 รากที่สองเป็นส่วนกลับของกำลังสอง

สัญลักษณ์สำหรับรากที่สอง (√ หรือที่เรียกว่าสัญลักษณ์ "ราก") เป็นสิ่งที่ตรงกันข้ามกับสัญลักษณ์ ². เมื่อคุณพบเครื่องหมายกรณฑ์ ให้ถามตัวเองว่า ถ้ายกกำลังสอง จำนวนใดจะส่งผลให้จำนวนในรากเป็น? ตัวอย่างเช่น หากคุณดูที่ √(9) ให้หาจำนวนที่เมื่อยกกำลังสองคือเก้า ดังนั้น คำตอบคือ "สาม" เพราะ 3² = 9.

อีกตัวอย่างหนึ่ง ให้ลองหารากที่สองของ 25 (√(25)) นั่นคือเรากำลังหาตัวเลขที่เมื่อยกกำลังสอง ผลลัพธ์คือ 25 เพราะ 5² = 5 × 5 = 25 จากนั้น (25) =

ขั้นตอนที่ 5.
สแควร์รูทยังถือว่า "เลิกทำ" สแควร์รูทได้ด้วย ตัวอย่างเช่น หากเราต้องการหา (64) รากที่สองของ 64 ให้คิดว่า 64 เป็น 8². เนื่องจากสัญลักษณ์รากที่สองโดยพื้นฐานแล้วจะ "ลบล้าง" สัญลักษณ์สี่เหลี่ยม ดังนั้น (64) = (8²) =

ขั้นตอนที่ 8.

ขั้นตอนที่ 3 รู้ความแตกต่างระหว่างกำลังสองสมบูรณ์แบบและไม่สมบูรณ์

จนถึงปัจจุบัน ผลลัพธ์ของการคำนวณรากที่สองของเราเป็นจำนวนเต็ม คำถามที่คุณจะเผชิญในภายหลังจะไม่ง่ายนัก แต่จะมีคำถามที่มีคำตอบเป็นเลขทศนิยมที่มีตัวเลขสองสามหลักหลังเครื่องหมายจุลภาค ตัวเลขที่ปัดเศษหลังยกกำลังสอง (ซึ่งไม่ใช่ตัวเลขเศษส่วนหรือทศนิยม) จะเรียกว่า “กำลังสองสมบูรณ์” เช่นกัน ตัวอย่างก่อนหน้านี้ทั้งหมด (9, 25 และ 64) เป็นกำลังสองสมบูรณ์ เพราะถ้ายกกำลังสอง ผลลัพธ์จะเป็นจำนวนเต็ม (3, 5 และ 8)

ในทางกลับกัน ตัวเลขที่ไม่ปัดเศษหลังจากยกกำลังสอง จะเป็น "กำลังสองที่ไม่สมบูรณ์" โดยปกติหลังจากยกกำลังสองแล้ว ผลลัพธ์จะเป็นตัวเลขเศษส่วนหรือทศนิยม บางครั้งตัวเลขก็ดูซับซ้อน เช่น (13) = 3, 605551275464…

ขั้นตอนที่ 4 จดจำกำลังสองของตัวเลข 1-12

อย่างที่คุณรู้อยู่แล้ว การยกกำลังสองกำลังสองสมบูรณ์นั้นง่ายมาก การจำกำลังสองของตัวเลข 1-12 นั้นมีประโยชน์มากเพราะตัวเลขเหล่านี้จะปรากฏในโจทย์เยอะมาก ดังนั้นคุณจะประหยัดเวลาในการทำงานกับคำถาม ตัวเลข 12 กำลังสองแรกคือ::

1² = 1 × 1 =

ขั้นตอนที่ 1.
2² = 2 × 2 =

ขั้นตอนที่ 4
3² = 3 × 3 =

ขั้นตอนที่ 9
4² = 4 × 4 =

ขั้นตอนที่ 16
5² = 5 × 5 =

ขั้นตอนที่ 25
6² = 6 × 6 = 36
7² = 7 × 7 = 49
8² = 8 × 8 = 64
9² = 9 × 9 = 81
10² = 10 × 10 = 100
11² = 11 × 11 = 121
12² = 12 × 12 = 144

ขั้นตอนที่ 5. ลดความซับซ้อนของสแควร์รูทโดยลบกำลังสองสมบูรณ์

การหารากที่สองของจำนวนยกกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์อาจเป็นเรื่องยาก โดยเฉพาะอย่างยิ่งหากคุณไม่ได้ใช้เครื่องคิดเลข อย่างไรก็ตาม จำนวนที่จะยกกำลังสองสามารถทำให้ง่ายขึ้นเพื่อให้คำนวณได้ง่ายขึ้น ในการทำเช่นนี้ เพียงแยกตัวเลขในรากศัพท์ออกเป็นหลายตัว จากนั้นลบรากที่สองของจำนวนยกกำลังสองสมบูรณ์แล้วเขียนคำตอบนอกรากราก วิธีนี้ค่อนข้างง่าย - เพื่อให้คุณเข้าใจได้ดีขึ้น นี่คือคำอธิบายเพิ่มเติม:

สมมุติว่าเราต้องการคำนวณสแควร์รูทของ 900 ดังนั้น แยก 900 เป็นตัวประกอบของมัน “ปัจจัย” คือตัวเลขที่สามารถคูณกันเพื่อให้ได้ตัวเลขอื่น ตัวอย่างเช่น จำนวน 6 สามารถหาได้จากการคูณกับ 1 × 6 และ 2 × 3 ดังนั้นตัวประกอบของ 6 คือ 1, 2, 3 และ 6
โดยคำนึงถึงหลักการนั้น เราจะแบ่ง 900 ออกเป็นปัจจัยต่างๆ เริ่มต้นด้วย เราเขียน 900 เป็น 9 × 100 เนื่องจาก 9 เป็นกำลังสองสมบูรณ์ เราจึงแยกรากที่สองของ 100 แยกกันได้ (9 × 100) = (9) × (100) = 3 × (100) กล่าวอีกนัยหนึ่ง (900) = 3√(100).
เราสามารถทำให้มันง่ายขึ้นได้โดยแยก 100 เป็นตัวประกอบ คือ 25 และ 4 (100) = (25 × 4) = (25) × (4) = 5 × 2 = 10 จึงสามารถคำนวณได้ (900) = 3(10) =

ขั้นตอนที่ 30.

ขั้นตอนที่ 6 ใช้จำนวนจินตภาพสำหรับรากที่สองของจำนวนลบ

คิดว่าตัวเลขอะไรถ้ายกกำลังสองผลลัพธ์เป็น -16? คำตอบ ไม่ ตัวเลขทั้งหมดยกกำลังสองผลลัพธ์เป็นบวกเสมอ เพราะเป็นลบ (-) เมื่อคูณด้วยค่าลบ ผลลัพธ์จะเป็นบวก (+) ในการยกกำลังสองจำนวนลบ เราจำเป็นต้องแทนที่จำนวนลบด้วยจำนวนจินตภาพ (ปกติจะอยู่ในรูปของตัวอักษรหรือสัญลักษณ์) ตัวอย่างเช่น โดยทั่วไปจะใช้ตัวแปร "i" สำหรับสแควร์รูทของ -1 จำนวนจินตภาพอยู่ที่รากที่สองของจำนวนลบเสมอ

ควรสังเกตว่าแม้ว่าตัวเลขจินตภาพจะไม่ถูกแสดงด้วยตัวเลข แต่ก็ยังสามารถถือเป็นตัวเลขได้หลายวิธี ตัวอย่างเช่น สแควร์รูทของจำนวนลบสามารถยกกำลังสอง เพื่อลบสแควร์รูทออก ตัวอย่างเช่น i² = - 1

ส่วนที่ 2 จาก 3: ใช้อัลกอริทึมสไตล์หารยาว

ขั้นตอนที่ 1 แก้ปัญหารากที่สอง เช่น ปัญหาการหารยาว

แม้ว่าปัญหารากที่สองที่ยากจะใช้เวลานาน แต่สามารถแก้ไขได้โดยไม่ต้องใช้เครื่องคิดเลข ในการทำเช่นนี้ เราจะใช้เมธอด (หรืออัลกอริธึม) ที่คล้ายกับการแบ่งสแต็กแบบยาว

เริ่มต้นด้วยการเขียนปัญหารากที่สองเช่นเดียวกับปัญหาการหารยาว จากตัวอย่างโจทย์ ให้หารากของ 6, 45 ซึ่งไม่ใช่จำนวนเต็ม อันดับแรก เราเขียนสัญลักษณ์ราก (√) จากนั้นเราเขียนตัวเลขที่เราต้องการนำกำลังสองด้านล่าง จากนั้นลากเส้นเหนือตัวเลข เช่นเดียวกับการหารซ้อนแบบยาว ตอนนี้ สัญลักษณ์ "√" ดูเหมือนหางมีเลข 6.45 อยู่ด้านล่าง
เราจะเขียนตัวเลขเหนือปัญหา ดังนั้นอย่าลืมเว้นที่ว่างไว้บ้าง

ขั้นตอนที่ 2 จัดกลุ่มหลักของตัวเลขเป็นคู่

ขั้นแรก ให้จัดกลุ่มตัวเลขของตัวเลขภายใต้เครื่องหมายกรณฑ์เป็นคู่ โดยเริ่มจากจุดทศนิยม สร้างเครื่องหมาย (จุด เครื่องหมายจุลภาค เส้น ฯลฯ) ระหว่างคู่เพื่อให้ง่ายต่อการติดตาม

ในโจทย์ตัวอย่าง 6, 45 จะแบ่งเป็น 6-, 45-00. จำไว้ว่ามีตัวเลข "ที่เหลืออยู่" ทางด้านซ้าย ซึ่งไม่ใช่ปัญหา

ขั้นตอนที่ 3 ค้นหาจำนวนที่มากที่สุดที่มีค่ากำลังสองน้อยกว่าหรือเท่ากับกลุ่มแรก

เริ่มต้นด้วยหมายเลขแรกในกลุ่มทางด้านซ้าย เลือกจำนวนที่มากที่สุดซึ่งมีค่ากำลังสองน้อยกว่าหรือเท่ากับในกลุ่ม เช่น ถ้ากลุ่ม 37 ให้เลือก 6 เพราะ 6² = 36 < 37 แต่ 7² = 49 > 37. เขียนตัวเลขนี้เหนือกลุ่มแรก ตัวเลขนี้เป็นตัวเลขตัวแรกของคำตอบของคุณ

ในโจทย์ตัวอย่าง กลุ่มแรกของ 6-, 45-00 คือ 6 จำนวนที่มากที่สุดที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ 6 เมื่อยกกำลังสองคือ

ขั้นตอนที่ 2. - 2² = 4 เขียนตัวเลข "2" เหนือ 6 และหางเป็นเครื่องหมายกรณฑ์

ขั้นตอนที่ 4 คูณตัวเลขที่คุณเพิ่งจดลงไป จากนั้นลดจำนวนลงแล้วลบออก

นำตัวเลขตัวแรกของคำตอบของคุณ (เขียนเหนือรากศัพท์) แล้วคูณมัน เขียนคำตอบใต้กลุ่มแรกแล้วลบเพื่อหาความแตกต่าง วางกลุ่มถัดไปทางด้านขวาของส่วนต่างที่คุณเพิ่งคำนวณ สุดท้าย เขียนหลักสุดท้ายของการคูณตัวเลขตัวแรกของคำตอบของคุณทางด้านซ้าย และเว้นที่ว่างไว้ทางด้านขวา

ในโจทย์ตัวอย่าง ตัวเลขที่คูณสองคือ 2 (หลักแรกของคำตอบก่อนหน้า) 2 × 2 = 4 จากนั้นลบ 4 ด้วย 6 (จากกลุ่มแรก) 6 - 4 ผลลัพธ์คือ 2 ถัดไป ดึงกลุ่มถัดไป (45) ลงมา และเราได้ 245 สุดท้าย เขียนหมายเลข 4 อีกครั้งทางซ้าย และเว้นช่องว่างทางด้านขวาเล็กน้อย ดังนี้: 4_

ขั้นตอนที่ 5. กรอกข้อมูลในช่องว่าง

เพิ่มตัวเลขทางด้านขวาของหมายเลขที่คุณเขียนทางด้านซ้าย เลือกตัวเลขที่ให้ค่ามากที่สุดเมื่อคูณด้วยตัวเลขใหม่นี้ แต่ยังน้อยกว่าหรือเท่ากับ “จำนวนที่ได้มา” ตัวอย่างเช่น หาก “หมายเลขที่ได้รับ” คือ 1700 และตัวเลขทางด้านซ้ายของคุณคือ 40_ ตัวเลขที่ควรป้อนคือ "4" เพราะ 404 × 4 = 1616 < 1700 ในขณะที่ 405 × 5 = 2025 ตัวเลขที่พบใน ขั้นตอนนี้เป็นตัวเลขที่สองของคำตอบของคุณ ดังนั้นให้เขียนไว้เหนือสัญลักษณ์ราก

ในโจทย์ตัวอย่าง เราจะหาตัวเลขที่อยู่ถัดจาก 4_ × _ ซึ่งคำตอบคือจำนวนที่มากที่สุดแต่น้อยกว่าหรือเท่ากับ 245 คำตอบคือ

ขั้นตอนที่ 5. 45 × 5 = 225 ในขณะที่ 46 × 6 = 276

ขั้นตอนที่ 6 ใช้ตัวเลข "ช่องว่าง" ต่อไปเพื่อค้นหาคำตอบของคุณ

ดำเนินการตามรูปแบบการแบ่งการซ้อนแบบยาวต่อไปจนกระทั่งความแตกต่างระหว่างการลบของตัวเลขที่ได้มานั้นเป็นศูนย์ หรือได้จำนวนที่ค่อนข้างแม่นยำ เมื่อเสร็จแล้ว ตัวเลขที่คุณใช้เติมช่องว่างในแต่ละขั้นตอน (บวกตัวเลขแรกสุดที่คุณใช้) จะเป็นตัวเลขแต่ละหลักในคำตอบของคุณ

ในโจทย์ตัวอย่าง ลบ 245 ด้วย 220 เพื่อให้ได้ 20 ต่อไปเราจะลดตัวเลขกลุ่มถัดไป 00 และรับ 2000 คูณตัวเลขที่อยู่เหนือสัญลักษณ์ราก เราจะได้ 25 × 2 = 50 เพื่อเติม ในช่องว่างที่ 50_ × _ =/< 2, 000 เราได้ตัวเลข

ขั้นตอนที่ 3. ตอนนี้ เรามี "253" เหนือสัญลักษณ์ราก - ทำซ้ำขั้นตอนนี้อีกครั้ง และรับ 9 ในหลักถัดไป

ขั้นตอนที่ 7 ลบเครื่องหมายทศนิยมออกจากจุดกำเนิด

เพื่อให้ได้คำตอบสุดท้าย ให้วางจุดทศนิยมในตำแหน่งที่ถูกต้อง ง่าย - เพียงวางจุดทศนิยมให้สอดคล้องกับจุดทศนิยมใต้สัญลักษณ์ราก ตัวอย่างเช่น ตัวเลขที่อยู่ต่ำกว่ารากศัพท์คือ 49, 8 ดังนั้นให้ใส่จุดทศนิยมระหว่างตัวเลขที่อยู่เหนือ 8 ถึง 9

ในโจทย์ตัวอย่าง ถ้าเลขใต้ฐานรากคือ 6, 45 จุดทศนิยมจะอยู่ในแนวระหว่างหลัก 2 และ 5 ซึ่งหมายความว่าคำตอบสุดท้ายคือ 2, 539.

ส่วนที่ 3 ของ 3: ประมาณการสี่เหลี่ยมที่ไม่สมบูรณ์อย่างรวดเร็ว

ขั้นตอนที่ 1. ค้นหากำลังสองที่ไม่สมบูรณ์โดยใช้การประมาณ

เมื่อคุณจำสี่เหลี่ยมที่สมบูรณ์แบบได้แล้ว การค้นหาสี่เหลี่ยมที่ไม่สมบูรณ์จะง่ายขึ้นมาก เคล็ดลับคือการหากำลังสองที่สมบูรณ์แบบก่อนและหลังตัวเลขที่คุณต้องการ จากนั้น ให้กำหนดว่าช่องใดในสองกำลังสองที่เหมาะสมที่สุดกับจำนวนที่คุณต้องการมากที่สุด

ตัวอย่างเช่น เราต้องการหารากที่สองของ 40 เลขกำลังสองสมบูรณ์ก่อนและหลัง 40 คือ 6² และ 7²ซึ่งเท่ากับ 36 และ 49 เนื่องจาก 40 มากกว่า 36 และน้อยกว่า 49 สแควร์รูทของ 40 ต้องอยู่ระหว่าง 6 ถึง 7 จำนวน 40 เข้าใกล้ 36 มากกว่า 49 ดังนั้นสแควร์รูทของ 40 จึงใกล้ 6 ต่อไปนี้คือขั้นตอนสองสามขั้นตอนในการค้นหาคำตอบที่ถูกต้อง

ขั้นตอนที่ 2 ประมาณค่ารากที่สองเป็นหนึ่งหลักหลังเครื่องหมายจุลภาค

เมื่อคุณกำหนดเลขกำลังสองสมบูรณ์สองตัวก่อนและหลังตัวเลขที่คุณต้องการ ส่วนที่เหลือคือขั้นตอนการค้นหาตัวเลขหลังเครื่องหมายจุลภาคที่ใกล้กับคำตอบมากที่สุด เริ่มต้นด้วยตัวเลขประมาณหนึ่งหลักหลังเครื่องหมายจุลภาค กระบวนการนี้จะทำซ้ำไปเรื่อยๆ จนกว่าคุณจะได้คำตอบที่ถูกต้องตามต้องการ

ในโจทย์ตัวอย่าง ค่าประมาณที่เหมาะสมของสแควร์รูทของ 40 คือ 6, 4 เพราะคำตอบน่าจะใกล้ 6 มากกว่า 7

ขั้นตอนที่ 3 คูณจำนวนโดยประมาณของคุณด้วยตัวเลขเอง

กล่าวอีกนัยหนึ่ง ยกกำลังสองจำนวนโดยประมาณของคุณ หากคุณโชคดีผลลัพธ์จะเป็นตัวเลขในปัญหา ถ้าไม่ ให้บวกหรือลบตัวเลขหลังเครื่องหมายจุลภาค จนกว่าคุณจะพบกำลังสองที่ใกล้เคียงที่สุดกับตัวเลขในโจทย์

คูณ 6, 4 ด้วย 6, 4 เพื่อให้ได้ 6, 4 × 6, 4 = 40, 96 ซึ่งสูงกว่า 40 เล็กน้อย
เนื่องจากการทดสอบครั้งแรกมีความซ้ำซ้อน ให้ลบการประมาณของคุณด้วยทศนิยมหนึ่งตำแหน่ง ซึ่งก็คือ 6, 3 × 6, 3 = 39, 69. ผลลัพธ์นี้ต่ำกว่าตัวเลขในปัญหาเล็กน้อย ซึ่งหมายความว่าสแควร์รูทของ 40 อยู่ระหว่าง 6, 3 และ 6, 4 จากนั้น เนื่องจาก 39.69 เข้าใกล้ 40 สแควร์รูทของ 40 จึงใกล้เคียง 6, 3 มากขึ้น

ขั้นตอนที่ 4 ส่งต่อการคาดการณ์ตามความจำเป็น

ใช้คำตอบของคุณหากคุณคิดว่ามันถูกต้องเพียงพอ แต่ถ้าไม่ใช่ ให้ทำตามรูปแบบโดยประมาณด้านบนต่อไปจนกว่าคุณจะพบคำตอบที่มีตัวเลขสามหรือสี่หลักหลังเครื่องหมายจุลภาค ยังไงก็ตาม จนกว่าคุณจะถึงระดับความแม่นยำที่คุณต้องการ