มีฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์หลายอย่างที่ใช้จุดยอด รูปทรงเรขาคณิตมีจุดยอดหลายจุด ระบบความไม่เท่าเทียมกันมีจุดยอดตั้งแต่หนึ่งจุดขึ้นไป และพาราโบลาหรือสมการกำลังสองก็มีจุดยอดเช่นกัน วิธีค้นหาจุดยอดนั้นขึ้นอยู่กับสถานการณ์ แต่สิ่งที่คุณควรรู้เกี่ยวกับการค้นหาจุดยอดในแต่ละสถานการณ์มีดังต่อไปนี้
ขั้นตอน
วิธีที่ 1 จาก 5: การหาจำนวนจุดยอดในรูปทรง
ขั้นตอนที่ 1 เรียนรู้สูตรของออยเลอร์
สูตรของออยเลอร์ ตามที่อ้างถึงในเรขาคณิตหรือกราฟ ระบุว่าสำหรับรูปร่างใดๆ ที่ไม่ได้สัมผัสกับตัวมันเอง จำนวนขอบบวกจำนวนจุดยอด ลบจำนวนขอบ จะเท่ากับสองเสมอ
-
ถ้าเขียนเป็นสมการ จะได้สูตรดังนี้ F + V - E = 2
- F หมายถึงจำนวนด้าน
- V หมายถึงจำนวนจุดยอดหรือจุดยอด
- E หมายถึงจำนวนซี่โครง
ขั้นตอนที่ 2 เปลี่ยนสูตรเพื่อหาจำนวนจุดยอด
หากคุณทราบจำนวนด้านและขอบของรูปร่าง คุณจะคำนวณจำนวนจุดยอดได้อย่างรวดเร็วโดยใช้สูตรของออยเลอร์ ลบ F จากทั้งสองข้างของสมการแล้วบวก E ทั้งสองข้าง โดยให้ V อยู่ด้านใดด้านหนึ่ง
V = 2 - F + E
ขั้นตอนที่ 3 ป้อนตัวเลขที่รู้จักและแก้
สิ่งที่คุณต้องทำในตอนนี้คือใส่จำนวนด้านและขอบลงในสมการก่อนบวกหรือลบตามปกติ คำตอบที่คุณได้รับคือจำนวนจุดยอดและแก้ปัญหาได้
-
ตัวอย่าง: สำหรับสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มี 6 ด้านและ 12 ขอบ…
- V = 2 - F + E
- วี = 2 - 6 + 12
- วี = -4 + 12
- วี = 8
วิธีที่ 2 จาก 5: การหาจุดยอดในระบบความไม่เท่าเทียมกันเชิงเส้น
ขั้นตอนที่ 1 วาดคำตอบของระบบอสมการเชิงเส้น
ในบางกรณี การวาดวิธีแก้ปัญหาของความไม่เท่าเทียมกันทั้งหมดในระบบสามารถแสดงให้เห็นจุดยอดบางส่วนหรือทั้งหมดด้วยสายตา อย่างไรก็ตาม หากคุณทำไม่ได้ คุณต้องหาจุดยอดด้วยพีชคณิต
หากคุณกำลังใช้เครื่องคิดเลขแบบกราฟเพื่อวาดอสมการ คุณสามารถปัดขึ้นบนหน้าจอไปยังจุดยอดและหาพิกัดของมันด้วยวิธีนั้น
ขั้นตอนที่ 2 เปลี่ยนความไม่เท่าเทียมกันเป็นสมการ
ในการแก้ระบบความไม่เท่าเทียมกัน คุณต้องแปลงความไม่เท่าเทียมกันเป็นสมการชั่วคราวเพื่อหาค่าของ NS และ y.
-
ตัวอย่าง: สำหรับระบบความไม่เท่าเทียมกัน:
- ย < x
- y > -x + 4
-
เปลี่ยนความไม่เท่าเทียมกันเป็น:
- y = x
- y > -x + 4
ขั้นตอนที่ 3 การแทนที่ตัวแปรหนึ่งเป็นตัวแปรอื่น
แม้ว่าจะมีวิธีอื่นในการแก้ไข NS และ y การทดแทนมักเป็นวิธีที่ง่ายที่สุด ใส่ค่า y จากสมการหนึ่งไปสู่อีกสมการหนึ่ง ซึ่งหมายถึง "การแทนที่" y เป็นสมการอื่นที่มีค่าของ NS.
-
ตัวอย่าง: ถ้า:
- y = x
- y = -x + 4
-
ดังนั้น y = -x + 4 สามารถเขียนเป็น:
x = -x + 4
ขั้นตอนที่ 4 แก้หาตัวแปรแรก
ตอนนี้คุณมีตัวแปรเพียงตัวเดียวในสมการแล้ว คุณสามารถแก้หาตัวแปรได้อย่างง่ายดาย NS เช่นเดียวกับในสมการอื่นๆ: โดยการบวก ลบ หาร และคูณ
-
ตัวอย่าง: x = -x + 4
- x + x = -x + x + 4
- 2x = 4
- 2x / 2 = 4 / 2
- x = 2
ขั้นตอนที่ 5. แก้หาตัวแปรที่เหลือ
ป้อนค่าใหม่สำหรับ NS ลงในสมการเดิมเพื่อหาค่าของ y.
-
ตัวอย่าง: y = x
y = 2
ขั้นตอนที่ 6 กำหนดจุดยอด
จุดยอดคือพิกัดที่มีค่า NS และ y ที่คุณเพิ่งค้นพบ
ตัวอย่าง: (2, 2)
วิธีที่ 3 จาก 5: การหาจุดยอดบนพาราโบลาโดยใช้แกนสมมาตร
ขั้นตอนที่ 1 แยกตัวประกอบสมการ
เขียนสมการกำลังสองใหม่ในรูปตัวประกอบ มีหลายวิธีในการแยกตัวประกอบสมการกำลังสอง แต่เมื่อเสร็จแล้ว คุณจะมีสองกลุ่มในวงเล็บ ซึ่งเมื่อคุณคูณเข้าด้วยกัน คุณจะได้สมการดั้งเดิม
-
ตัวอย่าง: (ใช้การแยกวิเคราะห์)
- 3x2 - 6x - 45
- เอาท์พุตปัจจัยเดียวกัน: 3 (x2 - 2x - 15)
- สัมประสิทธิ์การคูณ a และ c: 1 * -15 = -15
- ค้นหาตัวเลขสองตัวที่เมื่อคูณแล้วเท่ากับ -15 และมีผลรวมเท่ากับค่า b, -2; 3 * -5 = -15; 3 - 5 = -2
- แทนค่าทั้งสองลงในสมการ 'ax2 + kx + hx + c: 3(x2 + 3x - 5x - 15)
- การแยกตัวประกอบโดยการจัดกลุ่ม: f(x) = 3 * (x + 3) * (x - 5)
ขั้นตอนที่ 2 ค้นหาจุดตัดแกน x ของสมการ
เมื่อฟังก์ชัน x, f(x) เท่ากับ 0 พาราโบลาตัดกับแกน x สิ่งนี้จะเกิดขึ้นเมื่อตัวประกอบใดๆ เท่ากับ 0
-
ตัวอย่าง: 3 * (x + 3) * (x - 5) = 0
- +3 = 0
- - 5 = 0
- = -3; = 5
- ดังนั้นรากคือ: (-3, 0) และ (5, 0)
ขั้นตอนที่ 3 ค้นหาจุดกึ่งกลาง
แกนสมมาตรของสมการจะอยู่กึ่งกลางระหว่างรากทั้งสองของสมการพอดี คุณต้องรู้แกนสมมาตรเพราะจุดยอดอยู่ที่นั่น
ตัวอย่าง: x = 1; ค่านี้อยู่ตรงกลางของ -3 และ 5. พอดี
ขั้นตอนที่ 4 แทนค่าของ x ลงในสมการเดิม
แทนค่า x ของแกนสมมาตรลงในสมการพาราโบลา ค่า y จะเป็นค่า y ของจุดยอด
ตัวอย่าง: y = 3x2 - 6x - 45 = 3(1)2 - 6(1) - 45 = -48
ขั้นตอนที่ 5. เขียนจุดยอด
ถึงจุดนี้ ค่าที่คำนวณครั้งสุดท้ายของ x และ y จะให้พิกัดของจุดยอด
ตัวอย่าง: (1, -48)
วิธีที่ 4 จาก 5: การหาจุดยอดบนพาราโบลาโดยการเติมสี่เหลี่ยม
ขั้นตอนที่ 1 เขียนสมการเดิมใหม่ในรูปแบบจุดยอด
รูปแบบ "จุดยอด" เป็นสมการที่เขียนในรูป y = a(x - h)^2 + k และจุดยอดคือ (h,k). สมการกำลังสองเดิมต้องเขียนใหม่ในรูปแบบนี้ และสำหรับสิ่งนั้น คุณต้องเติมกำลังสองให้สมบูรณ์
ตัวอย่าง: y = -x^2 - 8x - 15
ขั้นตอนที่ 2 รับค่าสัมประสิทธิ์
ลบสัมประสิทธิ์แรก a ออกจากสัมประสิทธิ์สองตัวแรกของสมการ ทิ้งสัมประสิทธิ์ c สุดท้ายไว้ที่จุดนี้
ตัวอย่าง: -1 (x^2 + 8x) - 15
ขั้นตอนที่ 3 ค้นหาค่าคงที่ที่สามภายในวงเล็บ
ค่าคงที่ที่สามจะต้องอยู่ในวงเล็บเพื่อให้ค่าในวงเล็บเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สมบูรณ์แบบ ค่าคงที่ใหม่นี้เท่ากับกำลังสองของสัมประสิทธิ์ครึ่งหนึ่งที่อยู่ตรงกลาง
-
ตัวอย่าง: 8 / 2 = 4; 4 * 4 = 16; ดังนั้น,
- -1(x^2 + 8x + 16)
- โปรดจำไว้ว่ากระบวนการที่ดำเนินการภายในวงเล็บจะต้องดำเนินการนอกวงเล็บด้วย:
- y = -1(x^2 + 8x + 16) - 15 + 16
ขั้นตอนที่ 4 ลดความซับซ้อนของสมการ
เนื่องจากตอนนี้รูปร่างในวงเล็บกลายเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สมบูรณ์แบบแล้ว คุณสามารถลดความซับซ้อนของรูปร่างภายในวงเล็บให้อยู่ในรูปแบบแยกตัวประกอบ คุณสามารถเพิ่มหรือลบค่านอกวงเล็บพร้อมกันได้
ตัวอย่าง: y = -1(x + 4)^2 + 1
ขั้นตอนที่ 5. ค้นหาพิกัดตามสมการจุดยอด
จำได้ว่ารูปแบบจุดยอดของสมการคือ y = a(x - h)^2 + k, กับ (h,k) ซึ่งเป็นพิกัดของจุดยอด ตอนนี้คุณมีข้อมูลที่ครบถ้วนเพื่อป้อนค่าลงใน h และ k และแก้ปัญหา
- k = 1
- ชั่วโมง = -4
- จากนั้นสามารถหาจุดยอดของสมการได้ที่: (-4, 1)
วิธีที่ 5 จาก 5: การหาจุดยอดบนพาราโบลาโดยใช้สูตรอย่างง่าย
ขั้นตอนที่ 1 ค้นหาค่า x ของจุดยอดโดยตรง
เมื่อสมการพาราโบลาเขียนอยู่ในรูป y = ขวาน^2 + bx + c, x ของจุดยอดสามารถพบได้โดยสูตร x = -b / 2a. เพียงแทนค่า a และ b จากสมการลงในสูตรเพื่อค้นหา x
- ตัวอย่าง: y = -x^2 - 8x - 15
- x = -b / 2a = -(-8)/(2*(-1)) = 8/(-2) = -4
- x = -4
ขั้นตอนที่ 2 เสียบค่านี้ลงในสมการเดิม
แทนค่า x ลงในสมการ คุณจะพบ y ค่า y จะเป็นค่า y ของพิกัดจุดยอด
-
ตัวอย่าง: y = -x^2 - 8x - 15 = -(-4)^2 - 8(-4) - 15 = -(16) - (-32) - 15 = -16 + 32 - 15 = 1
y = 1
ขั้นตอนที่ 3 เขียนพิกัดของจุดยอด
ค่า x และ y ที่คุณได้รับคือพิกัดของจุดยอด