5 วิธีในการปรับสมดุลเศษส่วน

2024 ผู้เขียน: Jason Gerald | [email protected]. แก้ไขล่าสุด: 2024-01-15 08:25

เศษส่วนสองส่วนจะเท่ากันหากมีค่าเท่ากัน การรู้วิธีแปลงเศษส่วนเป็นรูปแบบที่เทียบเท่ากันนั้นเป็นทักษะทางคณิตศาสตร์ที่สำคัญอย่างยิ่ง ซึ่งจำเป็นสำหรับคณิตศาสตร์ทุกรูปแบบตั้งแต่พีชคณิตพื้นฐานไปจนถึงแคลคูลัสขั้นสูง บทความนี้จะนำเสนอหลายวิธีในการคำนวณเศษส่วนที่เท่ากันจากการคูณและการหารพื้นฐานไปจนถึงวิธีที่ซับซ้อนยิ่งขึ้นในการแก้สมการเศษส่วนที่เท่ากัน

ขั้นตอน

วิธีที่ 1 จาก 5: การจัดเรียงเศษส่วนเทียบเท่า

ขั้นตอนที่ 1 คูณทั้งเศษและส่วนด้วยจำนวนเดียวกัน

เศษส่วนที่แตกต่างกันสองส่วนแต่เท่ากันมีตัวเศษและตัวส่วนที่เป็นจำนวนทวีคูณของกันและกัน กล่าวอีกนัยหนึ่งการคูณตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนด้วยจำนวนเดียวกันจะทำให้ได้เศษส่วนที่เท่ากัน แม้ว่าตัวเลขในเศษส่วนใหม่จะต่างกัน แต่เศษส่วนจะมีค่าเท่ากัน

• ตัวอย่างเช่น หากเรานำเศษส่วน 4/8 แล้วคูณตัวเศษและตัวส่วนด้วย 2 เราจะได้ (4×2)/(8×2) = 8/16 เศษส่วนทั้งสองนี้มีค่าเท่ากัน
• (4×2)/(8×2) จริงๆ แล้วเหมือนกับ 4/8×2/2 จำไว้ว่าเมื่อคูณเศษส่วนสองส่วน เรากำลังคูณตรง หมายความว่าตัวเศษด้วยตัวเศษ และตัวส่วนด้วยตัวส่วน
• โปรดทราบว่า 2/2 เท่ากับ 1 ถ้าคุณทำการหาร ดังนั้นจึงง่ายกว่าที่จะเข้าใจว่าทำไม 4/8 และ 8/16 จึงเท่ากันเพราะการคูณ 4/8 × (2/2) = ยังคงเป็น 4/8 ในทำนองเดียวกันก็เหมือนกับว่า 4/8 = 8/16
• เศษส่วนที่ให้มาจะมีเศษส่วนที่เท่ากันเป็นจำนวนอนันต์ คุณสามารถคูณทั้งตัวเศษและส่วนด้วยจำนวนเต็มใดๆ ก็ได้ โดยไม่คำนึงถึงขนาดหรือขนาดเล็ก เพื่อให้ได้เศษส่วนที่เท่ากัน

ขั้นตอนที่ 2 แบ่งตัวเศษและส่วนด้วยจำนวนเดียวกัน

เช่นเดียวกับการคูณ การหารยังสามารถใช้เพื่อหาเศษส่วนใหม่ที่เท่ากับเศษส่วนเดิมของคุณ แค่หารตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนด้วยจำนวนเดียวกันเพื่อให้ได้เศษส่วนที่เท่ากัน มีข้อเสียเปรียบประการหนึ่งสำหรับกระบวนการนี้-เศษส่วนสุดท้ายต้องมีจำนวนเต็มทั้งในตัวเศษและตัวส่วนให้เป็นจริง

ตัวอย่างเช่น ลองย้อนกลับไปที่ 4/8 หากแทนที่จะคูณ เราหารทั้งเศษและส่วนด้วย 2 เราจะได้ (4 2)/(8 2) = 2/4 2 และ 4 เป็นจำนวนเต็ม ดังนั้นเศษส่วนที่เท่ากันเหล่านี้จึงเป็นจริง

วิธีที่ 2 จาก 5: การใช้การคูณพื้นฐานเพื่อกำหนดความเท่าเทียมกัน

ขั้นตอนที่ 1 หาจำนวนที่ต้องคูณด้วยตัวหารที่น้อยกว่าเพื่อให้ได้ตัวหารที่มากกว่า

ปัญหามากมายเกี่ยวกับเศษส่วนเกี่ยวข้องกับการพิจารณาว่าเศษส่วนสองส่วนเท่ากันหรือไม่ โดยการคำนวณตัวเลขนี้ คุณจะสามารถเริ่มเทียบเงื่อนไขเศษส่วนเพื่อกำหนดความเท่าเทียมกันได้

• ตัวอย่างเช่น ใช้เศษส่วน 4/8 และ 8/16 ซ้ำ ตัวส่วนน้อยคือ 8 และเราต้องคูณตัวเลขด้วย 2 เพื่อให้ได้ตัวส่วนมาก ซึ่งก็คือ 16 ดังนั้นตัวเลขในกรณีนี้คือ 2
• สำหรับจำนวนที่ยากขึ้น คุณสามารถหารตัวหารที่มากกว่าด้วยตัวหารที่น้อยกว่า ในกรณีนี้ 16 หารด้วย 8 ซึ่งยังคงให้ 2
• จำนวนไม่ได้เป็นจำนวนเต็มเสมอไป ตัวอย่างเช่น หากตัวส่วนคือ 2 และ 7 ตัวเลขก็คือ 3, 5

ขั้นตอนที่ 2 คูณตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนที่มีพจน์น้อยกว่าด้วยตัวเลขจากขั้นตอนแรก

เศษส่วนที่แตกต่างกันแต่เท่ากันสองส่วนมีตามนิยามว่า ตัวเศษและตัวส่วนที่เป็นทวีคูณของกันและกัน. กล่าวอีกนัยหนึ่งการคูณตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนด้วยจำนวนเดียวกันจะทำให้ได้เศษส่วนที่เท่ากัน แม้ว่าตัวเลขในเศษส่วนใหม่นี้จะต่างกัน แต่เศษส่วนเหล่านี้จะมีค่าเท่ากัน

ตัวอย่างเช่น หากเราใช้เศษส่วน 4/8 จากขั้นตอนที่หนึ่ง และคูณตัวเศษและตัวส่วนด้วยจำนวนที่เรากำหนดไว้ก่อนหน้านี้ ซึ่งก็คือ 2 เราจะได้ (4×2)/(8×2) = 8/16. ผลลัพธ์นี้พิสูจน์ว่าเศษส่วนทั้งสองนี้มีค่าเท่ากัน

วิธีที่ 3 จาก 5: การใช้แผนกพื้นฐานเพื่อกำหนดความเท่าเทียมกัน

ขั้นตอนที่ 1 นับแต่ละเศษส่วนเป็นเลขฐานสิบ

สำหรับเศษส่วนอย่างง่ายที่ไม่มีตัวแปร คุณสามารถแทนเศษส่วนแต่ละส่วนเป็นเลขทศนิยมเพื่อกำหนดความเท่าเทียมกัน เนื่องจากทุก ๆ เศษส่วนเป็นปัญหาการหาร จึงเป็นวิธีที่ง่ายที่สุดในการพิจารณาความเท่าเทียมกัน

• เช่น ใช้เศษส่วนที่เราใช้ก่อนหน้านี้คือ 4/8 เศษส่วน 4/8 เท่ากับบอกว่า 4 หารด้วย 8 ซึ่งเท่ากับ 4/8 = 0.5 คุณยังสามารถแก้ตัวอย่างอื่น ๆ ได้ ซึ่งก็คือ 8/16 = 0.5 ไม่ว่าเทอมในเศษส่วนจะเป็นเศษส่วนก็ตาม ถ้าตัวเลขทั้งสองเท่ากันเมื่อแสดงเป็นทศนิยม
• โปรดทราบว่านิพจน์ทศนิยมสามารถมีได้หลายหลักก่อนที่ความเท่าเทียมกันจะชัดเจน ตามตัวอย่างพื้นฐาน 1/3 = 0.333 ทำซ้ำในขณะที่ 3/10 = 0.3 ใช้ตัวเลขมากกว่าหนึ่งหลัก เราจะเห็นว่าเศษส่วนสองส่วนนี้ไม่เท่ากัน

ขั้นตอนที่ 2 แบ่งตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนด้วยจำนวนเดียวกันเพื่อให้ได้เศษส่วนที่เท่ากัน

สำหรับเศษส่วนที่ซับซ้อนมากขึ้น วิธีการหารต้องมีขั้นตอนเพิ่มเติม ในขณะที่การคูณ คุณสามารถหารตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนด้วยจำนวนเดียวกันเพื่อให้ได้เศษส่วนที่เท่ากัน มีข้อเสียเปรียบประการหนึ่งสำหรับกระบวนการนี้ เศษส่วนสุดท้ายต้องมีจำนวนเต็มทั้งตัวเศษและตัวส่วนให้เป็นจริง

ตัวอย่างเช่น ลองย้อนกลับไปที่ 4/8 หากแทนที่จะคูณ เราหารทั้งเศษและส่วนด้วย 2 เราจะได้ (4 2)/(8 2) = 2/4. 2 และ 4 เป็นจำนวนเต็ม ดังนั้นเศษส่วนที่เท่ากันเหล่านี้จึงเป็นจริง

ขั้นตอนที่ 3 ลดความซับซ้อนของเศษส่วนให้เป็นพจน์ที่ง่ายที่สุด

เศษส่วนส่วนใหญ่มักจะเขียนด้วยพจน์ที่ง่ายที่สุด และคุณสามารถแปลงเศษส่วนเป็นรูปแบบที่ง่ายที่สุดได้โดยการหารด้วยตัวประกอบร่วมมาก (GCF) ขั้นตอนนี้ใช้ตรรกะเดียวกับการเขียนเศษส่วนที่เท่ากัน โดยแปลงให้เป็นตัวส่วนเดียวกัน แต่วิธีนี้จะพยายามทำให้เศษส่วนแต่ละส่วนง่ายขึ้นเป็นพจน์ที่เล็กที่สุด

• เมื่อเศษส่วนอยู่ในรูปแบบที่ง่ายที่สุด ตัวเศษและตัวส่วนจะมีค่าน้อยที่สุด ทั้งสองไม่สามารถหารด้วยจำนวนเต็มใดๆ เพื่อให้ได้ค่าที่น้อยกว่า ในการแปลงเศษส่วนที่ไม่อยู่ในรูปแบบที่ง่ายที่สุดให้อยู่ในรูปแบบเทียบเท่าที่ง่ายที่สุด เราจะแบ่งตัวเศษและตัวส่วนด้วยตัวประกอบร่วมที่มีค่าที่สุด

• ตัวประกอบร่วมที่ยิ่งใหญ่ที่สุด (GCF) ของตัวเศษและตัวส่วนคือจำนวนที่มากที่สุดที่หารพวกมันเพื่อให้ได้ผลลัพธ์เป็นจำนวนเต็ม ดังนั้น ในตัวอย่าง 4/8 ของเรา เพราะว่า

  ขั้นตอนที่ 4 เป็นจำนวนที่มากที่สุดที่หารด้วย 4 กับ 8 ลงตัว เราจะหารตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนด้วย 4 เพื่อให้ได้พจน์ที่ง่ายที่สุด (4 4)/(8 4) = 1/2. สำหรับตัวอย่างอื่นของเรา 8/16 GCF คือ 8 ซึ่งคืนค่า 1/2 เป็นนิพจน์ที่ง่ายที่สุดของเศษส่วน

วิธีที่ 4 จาก 5: การใช้ผลิตภัณฑ์ข้ามเพื่อค้นหาตัวแปร

ขั้นตอนที่ 1. จัดเรียงเศษส่วนทั้งสองให้เท่ากัน

เราใช้การคูณไขว้สำหรับปัญหาทางคณิตศาสตร์ที่เรารู้ว่าเศษส่วนเท่ากัน แต่ตัวเลขตัวหนึ่งถูกแทนที่ด้วยตัวแปร (โดยปกติคือ x) ที่เราต้องแก้ ในกรณีเช่นนี้ เรารู้ว่าเศษส่วนเหล่านี้เท่ากันเพราะเป็นพจน์เดียวที่อยู่อีกด้านหนึ่งของเครื่องหมายเท่ากับ แต่บ่อยครั้งที่วิธีหาตัวแปรไม่ชัดเจน โชคดีที่การคูณไขว้ทำให้การแก้ปัญหาประเภทนี้เป็นเรื่องง่าย

ขั้นตอนที่ 2 นำเศษส่วนที่เท่ากันสองส่วนมาคูณด้วยรูปร่าง "X"

กล่าวอีกนัยหนึ่ง คุณคูณตัวเศษของเศษส่วนหนึ่งตัวด้วยตัวส่วนของเศษส่วนอื่น และในทางกลับกัน จากนั้นจัดเรียงคำตอบทั้งสองให้ตรงกันและแก้โจทย์

ใช้สองตัวอย่างของเรา 4/8 และ 8/16 ไม่มีตัวแปร แต่เราสามารถพิสูจน์แนวคิดนี้ได้เพราะเรารู้แล้วว่ามีความเท่าเทียมกัน โดยการคูณไขว้ เราจะได้ 4/16 = 8 x 8 หรือ 64 = 64 ซึ่งเป็นจริง ถ้าสองตัวนี้ไม่เท่ากัน เศษส่วนก็ไม่เท่ากัน

ขั้นตอนที่ 3 เพิ่มตัวแปร

เนื่องจากการคูณไขว้เป็นวิธีที่ง่ายที่สุดในการหาเศษส่วนที่เท่ากันเมื่อคุณต้องหาตัวแปร มาเพิ่มตัวแปรกัน

• ตัวอย่างเช่น ลองใช้สมการ 2/x = 10/13 ในการคูณไขว้ เราคูณ 2 ด้วย 13 และ 10 ด้วย x แล้วกำหนดคำตอบให้เท่ากัน:

  • 2 × 13 = 26
  • 10 × x = 10x
  • 10x = 26. จากตรงนี้ การหาคำตอบของตัวแปรคือปัญหาพีชคณิตง่ายๆ x = 26/10 = 2, 6, ทำให้เริ่มต้นเศษส่วนเทียบเท่า 2/2, 6 = 10/13.

ขั้นตอนที่ 4 ใช้การคูณไขว้สำหรับเศษส่วนหลายตัวแปรหรือนิพจน์ตัวแปร

สิ่งที่ดีที่สุดอย่างหนึ่งเกี่ยวกับการคูณไขว้คือมันทำงานแบบเดียวกัน ไม่ว่าคุณจะทำงานกับเศษส่วนอย่างง่ายสองตัว (ดังข้างบน) หรือเศษส่วนที่ซับซ้อนกว่าก็ตาม ตัวอย่างเช่น ถ้าเศษส่วนทั้งสองมีตัวแปร คุณเพียงแค่กำจัดตัวแปรเหล่านี้ในกระบวนการแก้ ในทำนองเดียวกัน หากตัวเศษหรือตัวส่วนของเศษส่วนมีนิพจน์ตัวแปร (เช่น x + 1) ก็แค่ "คูณ" โดยใช้คุณสมบัติการแจกแจงแล้วแก้ตามปกติ

• ตัวอย่างเช่น ลองใช้สมการ ((x + 3)/2) = ((x + 1)/4) ในกรณีนี้ ดังที่กล่าวข้างต้น เราจะแก้ปัญหาด้วยผลคูณไขว้:

  • (x + 3) × 4 = 4x + 12
  • (x + 1) × 2 = 2x + 2
  • 2x + 2 = 4x + 12 จากนั้นเราก็ลดรูปเศษส่วนได้โดยการลบ 2x จากทั้งสองข้าง
  • 2 = 2x + 12 จากนั้นเราแยกตัวแปรโดยลบ 12 จากทั้งสองข้าง
  • -10 = 2x และหารด้วย 2 เพื่อหา x
  • - 5 = x

วิธีที่ 5 จาก 5: การใช้สูตรกำลังสองเพื่อค้นหาตัวแปร

ขั้นตอนที่ 1 ข้ามเศษส่วนทั้งสอง

สำหรับปัญหาความเท่าเทียมกันที่ต้องใช้สูตรกำลังสอง เรายังคงเริ่มโดยใช้ผลคูณไขว้ อย่างไรก็ตาม ผลคูณไขว้ใดๆ ที่เกี่ยวข้องกับการคูณเงื่อนไขของตัวแปรด้วยเงื่อนไขของตัวแปรอื่น มีแนวโน้มที่จะส่งผลให้เกิดนิพจน์ที่ไม่สามารถแก้ไขได้ง่ายๆ โดยใช้พีชคณิต ในกรณีเช่นนี้ คุณอาจต้องใช้เทคนิคต่างๆ เช่น แฟคตอริ่งและ/หรือสูตรสมการกำลังสอง

• ตัวอย่างเช่น ลองดูสมการ ((x +1)/3) = (4/(2x - 2)) ก่อนอื่นมาคูณกัน:

  • (x + 1) × (2x - 2) = 2x² + 2x -2x - 2 = 2x² - 2
  • 4 × 3 = 12
  • 2x² - 2 = 12.

ขั้นตอนที่ 2 เขียนสมการเป็นสมการกำลังสอง

ในส่วนนี้ เราต้องการเขียนสมการนี้ในรูปแบบกำลังสอง (ax² + bx + c = 0) ซึ่งเราทำโดยการตั้งสมการให้เท่ากับศูนย์ ในกรณีนี้ เราลบ 12 จากทั้งสองข้างเพื่อให้ได้ 2x² - 14 = 0.

บางค่าอาจเท่ากับ 0 แม้ว่า 2x² - 14 = 0 เป็นรูปแบบที่ง่ายที่สุดของสมการของเรา สมการกำลังสองที่แท้จริงคือ 2x² + 0x + (-14) = 0 การเขียนรูปสมการกำลังสองอาจเป็นประโยชน์ในตอนเริ่มต้น แม้ว่าค่าบางค่าจะเท่ากับ 0

ขั้นตอนที่ 3 แก้โดยการแทนตัวเลขจากสมการกำลังสองของคุณลงในสูตรกำลังสอง

สูตรกำลังสอง (x = (-b +/- (b² - 4ac))/2a) จะช่วยให้เราค้นหาค่า x ในส่วนนี้ อย่ากลัวความยาวของสูตร คุณแค่นำค่าจากสมการกำลังสองของคุณมาไว้ในขั้นตอนที่สองแล้วใส่ไว้ในตำแหน่งที่ถูกต้องก่อนจะแก้สมการ

• x = (-b +/- (b² - 4ac))/2a. ในสมการของเรา 2x² - 14 = 0, a = 2, b = 0 และ c = -14
• x = (-0 +/- (0.)² - 4(2)(-14)))/2(2)
• x = (+/- (0 - -112))/2(2)
• x = (+/- (112))/2(2)
• x = (+/- 10.58/4)
• x = +/- 2, 64

ขั้นตอนที่ 4 ตรวจสอบคำตอบของคุณโดยป้อนค่า x ลงในสมการกำลังสองอีกครั้ง

โดยการแทนค่า x ที่คำนวณได้กลับเข้าไปในสมการกำลังสองของคุณจากขั้นตอนที่สอง คุณจะสามารถระบุได้อย่างง่ายดายว่าคุณได้คำตอบที่ถูกต้องหรือไม่ ในตัวอย่างนี้ คุณจะต้องแทน 2, 64 และ -2, 64 ลงในสมการกำลังสองเดิม

เคล็ดลับ

• การแปลงเศษส่วนให้เทียบเท่ากันนั้นแท้จริงแล้วเป็นรูปแบบของการคูณเศษส่วนด้วย 1 ในการแปลง 1/2 เป็น 2/4 การคูณตัวเศษและตัวส่วนด้วย 2 จะเหมือนกับการคูณ 1/2 ด้วย 2/2 ซึ่งเท่ากับ 1.

• หากต้องการ ให้แปลงจำนวนคละเป็นเศษส่วนร่วมเพื่อให้การแปลงง่ายขึ้น แน่นอนว่าไม่ใช่เศษส่วนทั้งหมดที่คุณเจอจะง่ายเหมือนกับการแปลงตัวอย่าง 4/8 ด้านบน ตัวอย่างเช่น จำนวนคละ (เช่น 1 3/4, 2 5/8, 5 2/3 เป็นต้น) อาจทำให้ขั้นตอนการแปลงซับซ้อนขึ้นเล็กน้อย หากคุณต้องแปลงจำนวนคละให้เป็นเศษส่วนร่วม คุณสามารถทำได้สองวิธี: โดยการแปลงจำนวนคละเป็นเศษส่วนร่วม แล้วแปลงเป็นเหมือนเดิม หรือ โดยคงรูปของจำนวนคละไว้และรับคำตอบในรูปของจำนวนคละ

  • ในการแปลงเป็นเศษส่วนร่วม ให้คูณองค์ประกอบจำนวนเต็มของจำนวนคละด้วยตัวส่วนขององค์ประกอบที่เป็นเศษส่วนแล้วบวกกับตัวเศษ ตัวอย่างเช่น 1 2/3 = ((1 × 3) + 2)/3 = 5/3 จากนั้นหากต้องการคุณสามารถเปลี่ยนได้ตามต้องการ ตัวอย่างเช่น 5/3 × 2/2 = 10/6 ซึ่งยังคงเท่ากับ 1 2/3
  • อย่างไรก็ตาม เราไม่ต้องแปลงเป็นเศษส่วนร่วมดังที่กล่าวข้างต้น มิฉะนั้น เราจะปล่อยให้องค์ประกอบจำนวนเต็มเพียงอย่างเดียว เปลี่ยนองค์ประกอบที่เป็นเศษส่วนเท่านั้น และเพิ่มองค์ประกอบจำนวนเต็มไม่เปลี่ยนแปลง ตัวอย่างเช่น สำหรับ 3 4/16 เราจะเห็นเพียง 4/16 4/16 4/4 = 1/4 โดยการเพิ่มองค์ประกอบจำนวนเต็มกลับ เราได้จำนวนคละใหม่ 3 1/4.

คำเตือน

• การคูณและการหารสามารถใช้เพื่อให้ได้เศษส่วนที่เท่ากันเนื่องจากการคูณและการหารด้วยรูปแบบเศษส่วนของตัวเลข 1 (2/2, 3/3 เป็นต้น) ให้คำตอบที่เทียบเท่ากับเศษส่วนเดิมตามคำจำกัดความ ใช้การบวกและการลบไม่ได้

• แม้ว่าคุณจะคูณตัวเศษและตัวส่วนเมื่อคุณคูณเศษส่วน คุณจะไม่บวกหรือลบตัวส่วนเมื่อคุณบวกหรือลบเศษส่วน

  ตัวอย่างเช่น ด้านบน เรารู้ว่า 4/8 4/4 = 1/2 ถ้าเราบวกด้วย 4/4 เราจะได้คำตอบที่ต่างไปจากเดิมอย่างสิ้นเชิง 4/8 + 4/4 = 4/8 + 8/8 = 12/8 = 1 1/2 หรือ 3/2 ไม่เท่ากับ 4/8