4 วิธีในการได้มาซึ่งในแคลคูลัส

2024 ผู้เขียน: Jason Gerald | [email protected]. แก้ไขล่าสุด: 2024-01-19 22:14

อนุพันธ์สามารถใช้เพื่อให้ได้มาซึ่งคุณลักษณะที่เป็นประโยชน์จากกราฟ เช่น ค่าสูงสุด ค่าต่ำสุด ค่าสูงสุด ค่าราง และค่าความชัน คุณสามารถใช้มันเพื่อสร้างกราฟสมการที่ซับซ้อนโดยไม่ต้องใช้เครื่องคิดเลขกราฟ! น่าเสียดาย การทำงานเกี่ยวกับอนุพันธ์มักจะเป็นเรื่องที่น่าเบื่อหน่าย แต่บทความนี้จะช่วยให้คุณมีเคล็ดลับและกลเม็ดบางอย่าง

ขั้นตอน

ขั้นตอนที่ 1 ทำความเข้าใจสัญกรณ์ที่ได้รับ

สองสัญลักษณ์ต่อไปนี้เป็นสัญลักษณ์ที่ใช้บ่อยที่สุด แม้ว่ารูปแบบอื่นๆ จะสามารถพบได้ที่นี่ในวิกิพีเดีย

• สัญกรณ์ไลบนิซ สัญกรณ์นี้เป็นสัญกรณ์ที่ใช้บ่อยที่สุดเมื่อสมการเกี่ยวข้องกับ y และ x dy/dx หมายถึงอนุพันธ์ของ y เทียบกับ x อาจเป็นประโยชน์หากคิดว่าเป็น y/Δx สำหรับค่า x และ y ที่ต่างกันมาก คำอธิบายนี้นำไปสู่คำจำกัดความของขีดจำกัดอนุพันธ์: lim_h->0 (f(x+h)-f(x))/ชม. เมื่อใช้สัญกรณ์นี้สำหรับอนุพันธ์อันดับสอง คุณควรเขียน: d²y/dx².
• สัญกรณ์ลากรองจ์ อนุพันธ์ของฟังก์ชัน f ยังเขียนเป็น f'(x) สัญกรณ์นี้อ่าน f เน้นเสียง x สัญกรณ์นี้สั้นกว่าสัญกรณ์ของไลบนิซ และมีประโยชน์เมื่อดูอนุพันธ์เป็นฟังก์ชัน หากต้องการสร้างอนุพันธ์ระดับที่มากขึ้น ให้เติม ' ถึง f ดังนั้นอนุพันธ์อันดับสองจะเป็น f''(x)

ขั้นตอนที่ 2 ทำความเข้าใจความหมายของอนุพันธ์และสาเหตุของการสืบเชื้อสาย

อันดับแรก ในการหาความชันของกราฟเชิงเส้น ให้ใช้จุดสองจุดบนเส้น และพิกัดของพวกมันจะถูกป้อนลงในสมการ (y₂ - y₁)/(NS₂ - NS₁). อย่างไรก็ตาม สามารถใช้ได้กับกราฟเชิงเส้นเท่านั้น สำหรับสมการกำลังสองขึ้นไป เส้นนั้นจะเป็นเส้นโค้ง ดังนั้นการหาความแตกต่างระหว่างจุดสองจุดจึงไม่ถูกต้องนัก ในการหาความชันของเส้นสัมผัสในกราฟเส้นโค้ง ให้นำจุดสองจุดมาใส่ในสมการทั่วไปเพื่อหาความชันของกราฟเส้นโค้ง: [f(x + dx) - f(x)]/dx Dx หมายถึง delta x ซึ่งเป็นความแตกต่างระหว่างพิกัด x สองตัวที่จุดสองจุดของกราฟ โปรดทราบว่าสมการนี้เหมือนกับ (y₂ - y₁)/(NS₂ - NS₁) ในรูปแบบอื่นเท่านั้น เนื่องจากเป็นที่ทราบกันดีว่าผลลัพธ์จะไม่แม่นยำ จึงมีการนำวิธีการทางอ้อมมาใช้ ในการหาความชันของเส้นสัมผัสบน (x, f(x)) dx ต้องอยู่ใกล้กับ 0 เพื่อให้จุดที่วาดทั้งสองจุดรวมกันเป็นจุดเดียว อย่างไรก็ตาม คุณไม่สามารถหาร 0 ได้ ดังนั้นเมื่อคุณป้อนค่าสองจุดแล้ว คุณจะต้องใช้แฟคตอริ่งและวิธีอื่นๆ เพื่อลบ dx ออกจากด้านล่างสุดของสมการ เมื่อคุณทำเสร็จแล้วให้สร้าง dx 0 และทำเสร็จแล้ว นี่คือความชันของแทนเจนต์บน (x, f(x)) อนุพันธ์ของสมการคือสมการทั่วไปในการหาความชันของเส้นสัมผัสบนกราฟ นี้อาจดูซับซ้อนมาก แต่มีตัวอย่างด้านล่าง ซึ่งจะช่วยอธิบายวิธีหาอนุพันธ์

วิธีที่ 1 จาก 4: อนุพันธ์ที่ชัดเจน

ขั้นตอนที่ 1 ใช้อนุพันธ์ที่ชัดเจนถ้าสมการของคุณมี y อยู่ด้านหนึ่งแล้ว

ขั้นที่ 2. ใส่สมการลงในสมการ [f(x + dx) - f(x)]/dx

ตัวอย่างเช่น หากสมการคือ y = x²อนุพันธ์จะเป็น [(x + dx)² - NS²]/dx.

ขั้นตอนที่ 3 ขยายและลบ dx เพื่อสร้างสมการ [dx(2x + dx)]/dx

ตอนนี้คุณสามารถร่าย dx สองตัวที่ด้านบนและด้านล่างได้ ผลลัพธ์คือ 2x + dx และเมื่อ dx เข้าใกล้ศูนย์ อนุพันธ์จะเป็น 2x ซึ่งหมายความว่าความชันของแทนเจนต์ใดๆ ของกราฟ y = x² คือ 2x เพียงป้อนค่า x สำหรับจุดที่คุณต้องการหาความชัน

ขั้นตอนที่ 4 เรียนรู้รูปแบบการหาสมการที่คล้ายกัน

นี่คือตัวอย่างบางส่วน.

• เลขชี้กำลังใดๆ เป็นกำลังคูณค่า ยกกำลังน้อยกว่า 1 ตัวอย่างเช่น อนุพันธ์ของ x⁵ คือ 5x⁴และอนุพันธ์ของ x^{3, 5} iis3, 5x^{2, 5}. หากมีตัวเลขนำหน้า x อยู่แล้ว ก็คูณด้วยยกกำลัง ตัวอย่างเช่น อนุพันธ์ของ 3x⁴ คือ 12x³.
• อนุพันธ์ของค่าคงที่ใดๆ เป็นศูนย์ ดังนั้นอนุพันธ์ของ 8 คือ 0
• อนุพันธ์ของผลรวมคือผลรวมของอนุพันธ์ตามลำดับ ตัวอย่างเช่น อนุพันธ์ของ x³ + 3x² คือ 3x² + 6 เท่า
• อนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์คือปัจจัยแรกคูณอนุพันธ์ของปัจจัยที่สอง บวกปัจจัยที่สองคูณอนุพันธ์ของปัจจัยแรก ตัวอย่างเช่น อนุพันธ์ของ x³(2x + 1) คือ x³(2) + (2x + 1)3x²ซึ่งเท่ากับ 8x³ + 3x².
• อนุพันธ์ของผลหาร (เช่น f/g) คือ [g(อนุพันธ์ของ f) - f(อนุพันธ์ของ g)]/g². ตัวอย่างเช่น อนุพันธ์ของ (x² + 2x - 21)/(x - 3) คือ (x² - 6x + 15)/(x - 3)².

วิธีที่ 2 จาก 4: อนุพันธ์โดยนัย

ขั้นตอนที่ 1 ใช้อนุพันธ์โดยนัยถ้าสมการของคุณไม่สามารถเขียนด้วย y ด้านเดียวได้

อันที่จริง ถ้าคุณเขียน y ด้านหนึ่ง การคำนวณ dy/dx คงจะน่าเบื่อ ต่อไปนี้คือตัวอย่างวิธีแก้สมการประเภทนี้

ขั้นตอนที่ 2 ในตัวอย่างนี้ x²y + 2y³ = 3x + 2y แทนที่ y ด้วย f(x) ดังนั้นคุณจะจำได้ว่า y เป็นฟังก์ชันจริงๆ

สมการจะกลายเป็น x²f(x) + 2[f(x)]³ = 3x + 2f(x)

ขั้นตอนที่ 3 ในการหาอนุพันธ์ของสมการนี้ หาสมการทั้งสองข้างเทียบกับ x

สมการจะกลายเป็น x²f'(x) + 2xf(x) + 6[f(x)]²f'(x) = 3 + 2f'(x)

ขั้นตอนที่ 4. แทนที่ f(x) ด้วย y อีกครั้ง

ระวังอย่าแทนที่ f'(x) ซึ่งแตกต่างจาก f(x)

ขั้นตอนที่ 5. ค้นหา f'(x)

คำตอบสำหรับตัวอย่างนี้คือ (3 - 2xy)/(x² + 6 ปี² - 2).

วิธีที่ 3 จาก 4: อนุพันธ์อันดับสูงกว่า

ขั้นตอนที่ 1 การได้มาซึ่งฟังก์ชันของลำดับที่สูงกว่าหมายความว่าคุณได้รับอนุพันธ์ (ตามลำดับที่ 2)

ตัวอย่างเช่น หากปัญหาขอให้คุณหาลำดับที่สาม ก็หาอนุพันธ์ของอนุพันธ์ของอนุพันธ์ สำหรับสมการบางสมการ อนุพันธ์อันดับสูงกว่าจะเป็น 0

วิธีที่ 4 จาก 4: กฎลูกโซ่

ขั้นตอนที่ 1 ถ้า y เป็นฟังก์ชันดิฟเฟอเรนเชียลของ z และ z เป็นฟังก์ชันดิฟเฟอเรนเชียลของ x แล้ว y คือฟังก์ชันผสมของ x และอนุพันธ์ของ y เทียบกับ x (dy/dx) คือ (dy/du)* (du/dx)

กฎลูกโซ่ยังสามารถเป็นการรวมกันของสมการกำลังได้ดังนี้ (2x⁴ - NS)³. ในการหาอนุพันธ์ ให้คิดว่ามันเหมือนกับกฎการคูณ คูณสมการด้วยกำลังและลดลง 1 ยกกำลัง จากนั้นคูณสมการด้วยอนุพันธ์ของสมการในวงเล็บที่ยกกำลัง (ในกรณีนี้คือ 2x^4 - x) คำตอบสำหรับคำถามนี้คือ 3(2x⁴ - NS)²(8x³ - 1).

เคล็ดลับ

• เมื่อใดก็ตามที่คุณพบปัญหาที่ยากจะแก้ไขอย่ากังวล แค่พยายามแบ่งมันออกเป็นส่วนย่อยๆ ให้ได้มากที่สุดโดยใช้กฎการคูณ ผลหาร ฯลฯ จากนั้นลดแต่ละส่วนลง
• ฝึกกับกฎการคูณ กฎผลหาร กฎลูกโซ่ และโดยเฉพาะอย่างยิ่ง อนุพันธ์โดยนัย เพราะกฎเหล่านี้ยากกว่ามากในแคลคูลัส
• เข้าใจเครื่องคิดเลขของคุณดี ลองใช้ฟังก์ชันต่างๆ ในเครื่องคิดเลขของคุณเพื่อเรียนรู้วิธีใช้งาน มีประโยชน์มากที่จะรู้วิธีใช้แทนเจนต์และฟังก์ชันอนุพันธ์ในเครื่องคิดเลขของคุณ หากมี
• จำอนุพันธ์ตรีโกณมิติพื้นฐานและวิธีใช้งาน