3 วิธีในการแยกตัวประกอบสมการพีชคณิต

2024 ผู้เขียน: Jason Gerald | [email protected]. แก้ไขล่าสุด: 2024-01-15 08:25

ในวิชาคณิตศาสตร์ แฟคตอริ่ง เป็นวิธีการหาตัวเลขหรือนิพจน์ ซึ่งเมื่อคูณแล้วจะได้จำนวนหรือสมการที่กำหนด การแยกตัวประกอบเป็นทักษะที่มีประโยชน์ในการเรียนรู้วิธีแก้ปัญหาพีชคณิตอย่างง่าย ความสามารถในการแยกตัวประกอบได้ดี มีความสำคัญเมื่อต้องจัดการกับสมการกำลังสองและพหุนามรูปแบบอื่นๆ การแยกตัวประกอบสามารถใช้เพื่อลดความซับซ้อนของนิพจน์พีชคณิตเพื่อทำให้การแก้ปัญหาง่ายขึ้น การแยกตัวประกอบยังช่วยให้คุณกำจัดคำตอบที่เป็นไปได้บางอย่างได้เร็วกว่าการแก้ปัญหาด้วยตนเอง

ขั้นตอน

วิธีที่ 1 จาก 3: ตัวเลขแยกตัวประกอบและนิพจน์พีชคณิตอย่างง่าย

ขั้นตอนที่ 1 ทำความเข้าใจคำจำกัดความของการแยกตัวประกอบเมื่อนำไปใช้กับตัวเลขเดี่ยว

การแยกตัวประกอบเป็นแนวคิดง่ายๆ แต่ในทางปฏิบัติ อาจทำได้ยากเมื่อใช้กับสมการที่ซับซ้อน ดังนั้นจึงง่ายที่สุดที่จะเข้าถึงแนวคิดของการแยกตัวประกอบโดยเริ่มจากตัวเลขอย่างง่าย จากนั้นไปที่สมการอย่างง่าย ก่อนสุดท้ายจะย้ายไปประยุกต์ใช้ที่ซับซ้อนมากขึ้น ตัวประกอบของจำนวนหนึ่งคือตัวเลขซึ่งเมื่อคูณแล้วได้จำนวนนั้น ตัวอย่างเช่น ตัวประกอบของ 12 คือ 1, 12, 2, 6, 3 และ 4 เนื่องจาก 1 × 12, 2 × 6 และ 3 × 4 เท่ากับ 12

• วิธีคิดอีกอย่างหนึ่งก็คือ ตัวประกอบของจำนวนหนึ่งคือตัวเลขที่สามารถหารจำนวนเท่าๆ กันได้

• คุณสามารถหาตัวประกอบทั้งหมดของจำนวน 60 ได้หรือไม่? เราใช้ตัวเลข 60 เพื่อจุดประสงค์ต่างๆ (นาทีในหนึ่งชั่วโมง วินาทีในหนึ่งนาที ฯลฯ) เพราะสามารถหารด้วยตัวเลขอื่น ๆ ได้ค่อนข้างมาก

  ตัวประกอบของ 60 คือ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 และ 60

ขั้นตอนที่ 2 ทำความเข้าใจว่านิพจน์ตัวแปรสามารถแยกตัวประกอบได้

ตัวแปรที่มีสัมประสิทธิ์จำนวนก็สามารถแยกตัวประกอบได้เช่นกัน การทำเช่นนี้ เพียงแค่หาตัวประกอบของสัมประสิทธิ์ตัวแปร การรู้วิธีแยกตัวประกอบของตัวแปรจะมีประโยชน์มากในการทำให้สมการพีชคณิตที่เกี่ยวข้องกับตัวแปรนั้นง่ายขึ้น

• ตัวอย่างเช่น ตัวแปร 12x สามารถเขียนเป็นผลคูณของตัวประกอบ 12 และ x เราสามารถเขียน 12x เป็น 3(4x), 2(6x) เป็นต้น โดยใช้ตัวประกอบของ 12 ตัวใดดีที่สุดสำหรับจุดประสงค์ของเรา

  เราสามารถแยกตัวประกอบ 12x ได้หลายครั้งด้วยซ้ำ กล่าวอีกนัยหนึ่ง เราไม่ต้องหยุดที่ 3(4x) หรือ 2(6x) – เราสามารถแยกตัวประกอบ 4x และ 6x เพื่อสร้าง 3(2(2x) และ 2(3(2x) ได้ แน่นอน สองนิพจน์นี้ มีค่าเท่ากัน

ขั้นตอนที่ 3 ใช้คุณสมบัติการกระจายของการคูณกับตัวประกอบสมการพีชคณิต

การใช้ความรู้ของคุณเกี่ยวกับวิธีการแยกตัวประกอบทั้งตัวเลขเดี่ยวและตัวแปรที่มีสัมประสิทธิ์ คุณสามารถลดความซับซ้อนของสมการพีชคณิตอย่างง่ายโดยการค้นหาปัจจัยที่ตัวเลขและตัวแปรมีร่วมกันในสมการพีชคณิต โดยปกติ ในการทำให้สมการง่ายขึ้น เราพยายามหาตัวประกอบร่วมที่ยิ่งใหญ่ที่สุด กระบวนการทำให้เข้าใจง่ายนี้เป็นไปได้เนื่องจากคุณสมบัติการกระจายของการคูณ ซึ่งใช้กับตัวเลข a, b และ c ใดๆ a(b + c) = ab + ac.

• ลองมาดูตัวอย่างคำถามกัน ในการแยกตัวประกอบสมการพีชคณิต 12x + 6 ขั้นแรก ให้ลองหาตัวประกอบร่วมที่ยิ่งใหญ่ที่สุดของ 12x และ 6 6 เป็นจำนวนที่มากที่สุดที่สามารถหาร 12x และ 6 ได้เท่าๆ กัน เพื่อให้เราสามารถลดสมการเป็น 6(2x + 1).
• กระบวนการนี้ยังใช้กับสมการที่มีจำนวนลบและเศษส่วนด้วย ตัวอย่างเช่น x/2 + 4 สามารถลดความซับซ้อนเป็น 1/2(x + 8) และ -7x + -21 สามารถแยกตัวประกอบเป็น -7(x + 3)

วิธีที่ 2 จาก 3: การแยกตัวประกอบสมการกำลังสอง

ขั้นตอนที่ 1 ตรวจสอบให้แน่ใจว่าสมการอยู่ในรูปกำลังสอง (ax² + bx + c = 0).

สมการกำลังสองมีรูปแบบ ax² + bx + c = 0 โดยที่ a, b และ c เป็นค่าคงที่ตัวเลขและไม่เท่ากับ 0 (โปรดทราบว่า a สามารถเท่ากับ 1 หรือ -1) ถ้าคุณมีสมการที่มีตัวแปรเดียว (x) ที่มีหนึ่งพจน์ x กำลังสองหรือมากกว่า คุณมักจะย้ายเทอมเหล่านี้ในสมการโดยใช้การดำเนินการเกี่ยวกับพีชคณิตอย่างง่ายเพื่อให้ได้ 0 ที่ด้านใดด้านหนึ่งของเครื่องหมายเท่ากับและขวาน²ฯลฯ ในอีกด้านหนึ่ง

• ตัวอย่างเช่น ลองคิดถึงสมการพีชคณิต 5x² + 7x - 9 = 4x² + x - 18 สามารถลดความซับซ้อนของ x² + 6x + 9 = 0 ซึ่งเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส
• สมการที่มีกำลังมากกว่าของ x เช่น x³, NS⁴ฯลฯ ไม่ใช่สมการกำลังสอง สมการเหล่านี้เป็นสมการกำลังสาม ยกกำลังสี่ และอื่นๆ เว้นแต่จะลดสมการให้ง่ายขึ้นเพื่อลบเทอม x เหล่านี้ที่มีกำลังมากกว่า 2

ขั้นตอนที่ 2 ในสมการกำลังสอง โดยที่ a = 1 แยกตัวประกอบเป็น (x+d)(x+e) โดยที่ d × e = c และ d + e = b

หากสมการกำลังสองของคุณอยู่ในรูป x² + bx + c = 0 (กล่าวคือ ถ้าสัมประสิทธิ์ของเทอม x² = 1) เป็นไปได้ (แต่ไม่รับประกัน) ว่าสามารถใช้วิธีการจดชวเลขที่ค่อนข้างง่ายเพื่อแยกตัวประกอบสมการได้ หาเลขสองตัวที่เมื่อคูณแล้วให้ c และ รวมกันเพื่อผลิตข. หลังจากที่คุณได้ค้นหาตัวเลขสองตัวนี้ d และ e แล้ว ให้ใส่ตัวเลขเหล่านี้ในนิพจน์ต่อไปนี้: (x+d)(x+e). เมื่อคูณสองเทอมนี้ คุณจะได้สมการกำลังสอง หรืออีกนัยหนึ่ง มันคือตัวประกอบของสมการกำลังสองของคุณ

• ตัวอย่างเช่น ลองคิดถึงสมการกำลังสอง x² + 5x + 6 = 0 คูณ 3 กับ 2 เพื่อให้ได้ 6 และบวกด้วย 5 ด้วย เราจึงลดสมการนี้เป็น (x + 3)(x + 2) ได้

• ความแตกต่างเล็กน้อยในวิธีการจดชวเลขพื้นฐานนี้อยู่ในความแตกต่างในความคล้ายคลึงกัน:

  • ถ้าสมการกำลังสองอยู่ในรูป x²-bx+c คำตอบของคุณอยู่ในรูปแบบนี้: (x - _)(x - _)
  • ถ้าสมการอยู่ในรูป x²+bx+c คำตอบของคุณมีลักษณะดังนี้: (x + _)(x + _)
  • ถ้าสมการอยู่ในรูป x²-bx-c คำตอบของคุณอยู่ในรูปแบบ (x + _)(x - _)
• หมายเหตุ: ตัวเลขในช่องว่างสามารถเป็นเศษส่วนหรือทศนิยมได้ ตัวอย่างเช่น สมการ x² + (21/2)x + 5 = 0 แยกตัวประกอบเป็น (x + 10)(x + 1/2)

ขั้นตอนที่ 3 ถ้าเป็นไปได้ ให้แยกผ่านเช็ค

เชื่อหรือไม่ สำหรับสมการกำลังสองที่ไม่ซับซ้อน หนึ่งในวิธีการแฟคตอริ่งที่อนุญาตคือการตรวจสอบปัญหา จากนั้นพิจารณาคำตอบที่เป็นไปได้จนกว่าคุณจะพบคำตอบที่ถูกต้อง วิธีนี้เรียกอีกอย่างว่าแฟคตอริ่งผ่านการตรวจสอบ ถ้าสมการอยู่ในรูป ax²+bx+c และ a>1 คำตอบปัจจัยของคุณอยู่ในรูปแบบ (dx +/- _)(เช่น +/- _) โดยที่ d และ e เป็นค่าคงที่ของจำนวนที่ไม่ใช่ศูนย์ ซึ่งเมื่อคูณแล้วจะได้ a ทั้ง d หรือ e (หรือทั้งสองอย่าง) ไม่สามารถเป็น 1 ได้แม้ว่าจะไม่จำเป็นต้องเป็นก็ตาม หากทั้งคู่เป็น 1 แสดงว่าคุณกำลังใช้วิธีการจดชวเลขที่อธิบายไว้ข้างต้น

ลองนึกถึงปัญหาตัวอย่าง 3x² - 8x + 4 ดูยากในตอนแรก อย่างไรก็ตาม เมื่อเราตระหนักว่า 3 มีเพียงสองปัจจัย (3 และ 1) สมการนี้จะง่ายขึ้นเพราะเรารู้ว่าคำตอบของเราต้องอยู่ในรูปแบบ (3x +/- _)(x +/- _) ในกรณีนี้ การเติม -2 ลงในช่องว่างทั้งสองจะทำให้ได้คำตอบที่ถูกต้อง -2 × 3x = -6x และ -2 × x = -2x -6x และ -2x รวมกันได้ -8x -2 × -2 = 4 ดังนั้นเราจะเห็นว่าพจน์ที่แยกตัวประกอบในวงเล็บเมื่อคูณแล้วจะได้สมการดั้งเดิม

ขั้นตอนที่ 4 แก้โดยเติมสี่เหลี่ยมให้เสร็จ

ในบางกรณี สมการกำลังสองสามารถแยกตัวประกอบได้อย่างรวดเร็วและง่ายดายโดยใช้ข้อมูลเฉพาะเกี่ยวกับพีชคณิตพิเศษ สมการกำลังสองในรูป x² + 2xh + ชั่วโมง² = (x + ชั่วโมง)². ดังนั้น ถ้าในสมการของคุณ ค่า b ของคุณเป็นสองเท่าของสแควร์รูทของค่า c ของคุณ สมการของคุณสามารถแยกตัวประกอบเป็น (x + (root(c)))².

ตัวอย่างเช่น สมการ x² +6x+9 มีรูปทรงนี้ 3² คือ 9 และ 3 × 2 เท่ากับ 6 ดังนั้น เรารู้ว่ารูปแบบตัวประกอบของสมการนี้คือ (x + 3)(x + 3) หรือ (x + 3)².

ขั้นตอนที่ 5. ใช้ตัวประกอบในการแก้สมการกำลังสอง

ไม่ว่าคุณจะแยกตัวประกอบสมการกำลังสองของคุณอย่างไร เมื่อแยกตัวประกอบสมการแล้ว คุณสามารถหาคำตอบที่เป็นไปได้ของค่า x ได้โดยการทำให้ตัวประกอบแต่ละตัวมีค่าเท่ากับศูนย์แล้วแก้สมการ เนื่องจากคุณกำลังมองหาค่าของ x ที่ทำให้สมการของคุณเท่ากับศูนย์ ค่าของ x ที่ทำให้ตัวประกอบใดๆ เท่ากับศูนย์จึงเป็นคำตอบที่เป็นไปได้สำหรับสมการกำลังสองของคุณ

กลับไปที่สมการ x. กัน² + 5x + 6 = 0 สมการนี้แยกตัวประกอบเป็น (x + 3)(x + 2) = 0 ถ้าตัวประกอบตัวใดตัวหนึ่งเท่ากับ 0 สมการทั้งหมดเท่ากับ 0 ดังนั้นคำตอบที่เป็นไปได้สำหรับ x คือตัวเลข- ตัวเลขที่ทำให้ (x + 3) และ (x + 2) เท่ากับ 0 ตัวเลขเหล่านี้คือ -3 และ -2 ตามลำดับ

ขั้นตอนที่ 6 ตรวจสอบคำตอบของคุณ – คำตอบบางข้ออาจทำให้เข้าใจผิด

เมื่อคุณพบคำตอบที่เป็นไปได้สำหรับ x ให้เสียบกลับเข้าไปในสมการเดิมเพื่อดูว่าคำตอบนั้นถูกต้องหรือไม่ บางครั้ง คำตอบที่คุณพบไม่ได้ทำให้สมการเดิมมีค่าเท่ากับศูนย์เมื่อป้อนใหม่ เราเรียกคำตอบนี้ว่าเบี่ยงเบนและเพิกเฉย

• ลองใส่ -2 และ -3 ลงใน x² + 5x + 6 = 0 อันดับแรก -2:

  • (-2)² + 5(-2) + 6 = 0
  • 4 + -10 + 6 = 0
  • 0 = 0 คำตอบนี้ถูกต้อง ดังนั้น -2 จึงเป็นคำตอบที่ถูกต้อง

• ทีนี้มาลอง -3:

  • (-3)² + 5(-3) + 6 = 0
  • 9 + -15 + 6 = 0
  • 0 = 0 คำตอบนี้ถูกต้องเช่นกัน ดังนั้น -3 จึงเป็นคำตอบที่ถูกต้อง

วิธีที่ 3 จาก 3: การแยกตัวประกอบสมการอื่น

ขั้นตอนที่ 1 ถ้าสมการแสดงอยู่ในรูป a²-NS², แยกตัวประกอบเป็น (a+b)(a-b)

สมการที่มีตัวแปรสองตัวมีปัจจัยที่แตกต่างจากสมการกำลังสองพื้นฐาน สำหรับสมการ a²-NS² อะไรก็ตามที่ a และ b ไม่เท่ากับ 0 ตัวประกอบของสมการคือ (a+b)(a-b)

ตัวอย่างเช่น สมการ 9x² - 4 ปี² = (3x + 2y) (3x - 2y)

ขั้นตอนที่ 2 หากสมการแสดงอยู่ในรูป a²+2ab+ข², แยกตัวประกอบเป็น (a+b)².

สังเกตว่า หากไตรนามอยู่ในรูป a²-2ab+ข²ฟอร์มแฟคเตอร์แตกต่างกันเล็กน้อย: (a-b)².

4x. สมการ² + 8xy + 4y² สามารถเขียนใหม่เป็น 4x² + (2 × 2 × 2)xy + 4y². ทีนี้ เราจะเห็นได้ว่ารูปแบบนั้นถูกต้อง ดังนั้นเราสามารถมั่นใจได้ว่าตัวประกอบของสมการของเราคือ (2x + 2y)²

ขั้นตอนที่ 3 ถ้าสมการแสดงอยู่ในรูป a³-NS³, แยกตัวประกอบเป็น (a-b)(a²+ab+ข²).

ท้ายที่สุด มีการกล่าวไว้แล้วว่าสมการกำลังสามและกำลังสูงนั้นสามารถแยกตัวประกอบได้ แม้ว่ากระบวนการแฟคตอริ่งจะซับซ้อนอย่างรวดเร็วอย่างรวดเร็ว

ตัวอย่างเช่น 8x³ - 27 ปี³ แยกออกเป็น (2x - 3y) (4x² + ((2x)(3y)) + 9y²)

เคล็ดลับ

• NS²-NS² สามารถแยกตัวประกอบ a²+ข² ไม่สามารถแยกตัวประกอบได้
• จำวิธีการแยกตัวประกอบค่าคงที่ สิ่งนี้อาจช่วยได้
• ระวังเศษส่วนในกระบวนการแฟคตอริ่งและทำงานกับเศษส่วนอย่างถูกต้องและรอบคอบ
• หากคุณมีไตรนามของรูปแบบ x²+bx+ (b/2)²ฟอร์มแฟคเตอร์คือ (x+(b/2))². (คุณอาจพบสถานการณ์นี้เมื่อทำช่องสี่เหลี่ยมเสร็จ)
• จำไว้ว่า a0=0 (คุณสมบัติของผลคูณของศูนย์)