วิธีการวาดกราฟสี่เหลี่ยม: 10 ขั้นตอน (พร้อมรูปภาพ)

2024 ผู้เขียน: Jason Gerald | [email protected]. แก้ไขล่าสุด: 2024-02-01 14:16

เมื่อแสดงเป็นกราฟ สมการกำลังสองจะอยู่ในรูป ขวาน² + bx + c หรือ ก(x - ส)² + k สร้างตัวอักษร U หรือเส้นโค้ง U กลับด้านที่เรียกว่าพาราโบลา การสร้างกราฟสมการกำลังสองคือการมองหาจุดยอด ทิศทาง และบ่อยครั้งที่จุดตัด x และ y ในกรณีของสมการกำลังสองที่ค่อนข้างง่าย การป้อนชุดค่า x และการพล็อตเส้นโค้งตามจุดผลลัพธ์อาจเพียงพอ ดูขั้นตอนที่ 1 ด้านล่างเพื่อเริ่มต้น

ขั้นตอน

ขั้นตอนที่ 1 กำหนดรูปแบบของสมการกำลังสองที่คุณมี

สมการกำลังสองสามารถเขียนได้ในรูปแบบที่แตกต่างกันสามรูปแบบ: รูปแบบทั่วไป รูปแบบจุดยอด และรูปแบบกำลังสอง คุณสามารถใช้รูปแบบใดก็ได้เพื่อสร้างกราฟสมการกำลังสอง ขั้นตอนการวาดแต่ละกราฟจะแตกต่างกันเล็กน้อย หากคุณกำลังทำการบ้าน คุณมักจะได้รับคำถามในรูปแบบใดรูปแบบหนึ่งจากสองรูปแบบนี้ กล่าวคือ คุณจะไม่สามารถเลือกได้ ดังนั้นจึงควรทำความเข้าใจทั้งสองแบบ สมการกำลังสองสองรูปแบบคือ:

• แบบฟอร์มทั่วไป

  ในรูปแบบนี้ สมการกำลังสองเขียนเป็น: f(x) = ax² + bx + c โดยที่ a, b และ c เป็นจำนวนจริงและ a ไม่ใช่ศูนย์

  ตัวอย่างเช่น สมการกำลังสองของรูปแบบทั่วไปสองสมการคือ f(x) = x² + 2x + 1 และ f(x) = 9x² + 10x -8

• รูปร่างยอด.

  ในรูปแบบนี้ สมการกำลังสองเขียนเป็น: f(x) = a(x - h)² + k โดยที่ a, h และ k เป็นจำนวนจริงและ a ไม่ใช่ศูนย์ เรียกว่ารูปแบบจุดยอดเพราะ h และ k จะให้จุดยอด (จุดกึ่งกลาง) ของพาราโบลาที่จุดนั้นทันที (h, k)

  สมการรูปแบบจุดยอดทั้งสองคือ f(x) = 9(x - 4)² +18 และ -3(x - 5)² + 1

• ในการสร้างกราฟของสมการใดๆ เราต้องหาจุดยอดของพาราโบลาก่อน ซึ่งก็คือจุดกึ่งกลาง (h, k) ที่ส่วนท้ายของเส้นโค้ง พิกัดของยอดเขาในรูปแบบทั่วไปคำนวณได้ดังนี้ h = -b/2a และ k = f(h) ในขณะที่รูปแบบพีค h และ k อยู่ในสมการ

ขั้นตอนที่ 2 กำหนดตัวแปรของคุณ

เพื่อที่จะแก้ปัญหาสมการกำลังสอง ตัวแปร a, b และ c (หรือ a, h และ k) มักจะถูกกำหนดไว้ ปัญหาพีชคณิตธรรมดาจะให้สมการกำลังสองกับตัวแปรที่มีอยู่ โดยปกติแล้วจะอยู่ในรูปแบบทั่วไป แต่บางครั้งก็อยู่ในรูปแบบพีค

• ตัวอย่างเช่น สำหรับสมการรูปแบบทั่วไป f(x) = 2x² +16x + 39 เรามี a = 2, b = 16 และ c = 39
• สำหรับสมการรูปแบบพีค f(x) = 4(x - 5)² + 12 เรามี a = 4 h = 5 และ k = 12

ขั้นตอนที่ 3 คำนวณ h

ในสมการรูปแบบจุดยอด ค่า h ของคุณถูกกำหนดไว้แล้ว แต่ในสมการรูปแบบทั่วไป จะต้องคำนวณค่า h จำไว้ว่า สำหรับสมการในรูปแบบทั่วไป h = -b/2a

• ในตัวอย่างรูปแบบทั่วไปของเรา (f(x) = 2x² +16x + 39), ชั่วโมง = -b/2a = -16/2(2) หลังจากแก้เราจะพบว่า h = - 4.
• ในตัวอย่างรูปแบบจุดยอดของเรา (f(x) = 4(x - 5)² +12) เรารู้ว่า h = 5 โดยไม่ต้องคำนวณ

ขั้นตอนที่ 4. คำนวณ k

เช่นเดียวกับ h k เป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้วในสมการของรูปแบบพีค สำหรับสมการในรูปแบบทั่วไป จำไว้ว่า k = f(h) กล่าวอีกนัยหนึ่ง คุณสามารถค้นหา k ได้โดยการแทนที่ค่า x ทั้งหมดในสมการของคุณด้วยค่า h ที่คุณเพิ่งพบ

• เราได้กำหนดในตัวอย่างรูปแบบทั่วไปของเราแล้วว่า h = -4 ในการหา k เราแก้สมการโดยแทนค่า h แทน x:

  • k = 2(-4)² + 16(-4) + 39.
  • k = 2(16) - 64 + 39.

  • k = 32 - 64 + 39 =

    ขั้นตอนที่ 7

• ในตัวอย่างรูปแบบพีค อีกครั้ง เรารู้ค่าของ k (ซึ่งเท่ากับ 12) โดยไม่ต้องคำนวณใดๆ

ขั้นตอนที่ 5. วาดจุดสูงสุดของคุณ

จุดยอดของพาราโบลาของคุณคือจุด (h, k) – h แทนพิกัด x ในขณะที่ k แทนพิกัด y จุดยอดคือจุดกึ่งกลางของพาราโบลาของคุณ – ที่ด้านล่างของ U หรือด้านบนของ U ที่กลับด้าน การรู้จุดยอดเป็นส่วนสำคัญในการวาดพาราโบลาที่แม่นยำ บ่อยครั้งในงานโรงเรียน การกำหนดจุดยอดเป็นส่วนที่ต้องมองหาในคำถาม

• ในตัวอย่างรูปแบบทั่วไป พีคของเราคือ (-4, 7) ดังนั้น พาราโบลาของเราจะถึงจุดสุดยอด 4 ขั้นทางซ้ายจาก 0 และ 7 ขั้นเหนือ (0, 0) เราต้องอธิบายจุดนี้ในกราฟของเรา ตรวจสอบให้แน่ใจว่าได้ทำเครื่องหมายพิกัดแล้ว
• ในตัวอย่างรูปแบบจุดยอด จุดยอดของเราคือ (5, 12) เราต้องวาดจุด 5 ขั้นไปทางขวาและ 12 ขั้นเหนือ (0, 0)

ขั้นตอนที่ 6 วาดแกนของพาราโบลา (ไม่จำเป็น)

แกนสมมาตรของพาราโบลาคือเส้นที่ลากผ่านจุดศูนย์กลาง หารตรงกลางพอดี บนแกนนี้ ด้านซ้ายของพาราโบลาจะสะท้อนทางด้านขวา สำหรับสมการกำลังสองในรูปแบบ ax² + bx + c หรือ a(x - h)² + k แกนสมมาตรคือเส้นที่ขนานกับแกน y (กล่าวอีกนัยหนึ่งคือแนวตั้งพอดี) และผ่านจุดยอด

ในกรณีของตัวอย่างรูปแบบทั่วไปของเรา แกนคือเส้นขนานกับแกน y และผ่านจุด (-4, 7) แม้ว่าจะไม่ได้เป็นส่วนหนึ่งของพาราโบลา แต่การมาร์กเส้นนี้บางๆ บนกราฟจะช่วยให้คุณเห็นรูปร่างสมมาตรของเส้นโค้งพาราโบลาได้

ขั้นตอนที่ 7. หาทิศทางการเปิดพาราโบลา

หลังจากรู้ยอดและแกนของพาราโบลาแล้ว ต่อไปเราต้องรู้ว่าพาราโบลาเปิดขึ้นหรือลง โชคดีที่นี่เป็นเรื่องง่าย ถ้าค่าของ a เป็นบวก พาราโบลาจะเปิดขึ้น ส่วนถ้าค่าของ a เป็นลบ พาราโบลาจะเปิดลง (เช่น พาราโบลาจะกลับด้าน)

• สำหรับตัวอย่างรูปแบบทั่วไปของเรา (f(x) = 2x² +16x + 39) เรารู้ว่าเรามีพาราโบลาที่เปิดออกเพราะในสมการของเรา a = 2 (บวก)
• สำหรับตัวอย่างแบบฟอร์มจุดยอดของเรา (f(x) = 4(x - 5)² +12) เรารู้ว่าเรายังมีพาราโบลาที่เปิดขึ้นเพราะ a = 4 (บวก)

ขั้นตอนที่ 8 หากจำเป็น ให้ค้นหาและวาดจุดตัด x

บ่อยครั้งในงานโรงเรียน คุณจะถูกขอให้ค้นหาจุดตัด x ในพาราโบลา (ซึ่งเป็นจุดหนึ่งหรือสองจุดที่พาราโบลามาบรรจบกับแกน x) แม้ว่าคุณจะไม่พบจุดใดจุดหนึ่ง จุดสองจุดนี้สำคัญมากสำหรับการวาดพาราโบลาที่แม่นยำ อย่างไรก็ตาม ไม่ใช่ว่าพาราโบลาทั้งหมดจะมีการสกัดกั้น x หากพาราโบลาของคุณมีจุดยอดที่เปิดออกและจุดยอดอยู่เหนือแกน x หรือหากเปิดลงและจุดยอดอยู่ใต้แกน x พาราโบลาจะไม่มีการสกัดกั้น x. มิฉะนั้น ให้แก้จุดตัด x ด้วยวิธีใดวิธีหนึ่งต่อไปนี้

• แค่ทำให้ f(x) = 0 แล้วแก้สมการ วิธีนี้ใช้ได้กับสมการกำลังสองอย่างง่าย โดยเฉพาะอย่างยิ่งในรูปแบบพีค แต่จะยากมากสำหรับสมการที่ซับซ้อน ดูตัวอย่างด้านล่าง

  • ฉ(x) = 4(x - 12)² - 4
  • 0 = 4(x - 12)² - 4
  • 4 = 4(x - 12)²
  • 1 = (x - 12)²
  • ราก (1) = (x - 12)
  • +/- 1 = x -12 x = 11 และ 13 คือค่าตัดแกน x ในพาราโบลา

• แยกตัวประกอบสมการของคุณ สมการบางส่วนในรูปแบบ ax² + bx + c สามารถแยกตัวประกอบเป็นรูปแบบได้อย่างง่ายดาย (dx + e)(fx +g) โดยที่ dx × fx = axe², (dx × g + fx × e) = bx และ e × g = c ในกรณีนี้ ค่าจุดตัด x ของคุณคือค่า x ซึ่งจะทำให้พจน์ใดๆ ในวงเล็บ = 0 ตัวอย่างเช่น

  • NS² + 2x + 1
  • = (x + 1)(x + 1)
  • ในกรณีนี้ ค่าตัดแกน x อย่างเดียวของคุณคือ -1 เพราะการทำให้ x เท่ากับ -1 จะทำให้เทอมตัวประกอบใดๆ ในวงเล็บเท่ากับ 0

• ใช้สูตรสมการกำลังสอง หากคุณไม่สามารถแก้ค่าตัดแกน x หรือแยกตัวประกอบสมการของคุณได้ง่ายๆ ให้ใช้สมการพิเศษที่เรียกว่าสูตรกำลังสองที่สร้างขึ้นเพื่อจุดประสงค์นี้ ถ้ายังไม่แก้ ให้แปลงสมการเป็นรูปแบบ ax² + bx + c จากนั้นป้อน a, b และ c ลงในสูตร x = (-b +/- sqrt(b)² - 4ac))/2a. โปรดทราบว่าวิธีนี้มักจะให้คำตอบสองค่าแก่คุณสำหรับค่า x ซึ่งก็ใช้ได้ – มันหมายความว่าพาราโบลาของคุณมีจุดตัด x สองค่า ดูตัวอย่างด้านล่าง:

  • -5x² + 1x + 10 ถูกใส่ลงในสูตรกำลังสองดังนี้:
  • x = (-1 +/- รูท (1.)² - 4(-5)(10)))/2(-5)
  • x = (-1 +/- รูท(1 + 200))/-10
  • x = (-1 +/- รูท (201))/-10
  • x = (-1 +/- 14, 18)/-10
  • x = (13, 18/-10) และ (-15, 18/-10) ค่าตัดแกน x ในพาราโบลาคือ x = - 1, 318 และ 1, 518
  • ตัวอย่างก่อนหน้าของเราของรูปแบบทั่วไป 2x² +16x+39 ถูกใส่ลงในสูตรกำลังสองดังนี้:
  • x = (-16 +/- รูท(16² - 4(2)(39)))/2(2)
  • x = (-16 +/- รูท (256 - 312))/4
  • x = (-16 +/- รูท(-56)/-10
  • เนื่องจากเป็นไปไม่ได้ที่จะหารากที่สองของจำนวนลบ เราจึงรู้ว่าพาราโบลานี้ ไม่มี x-intercept.

ขั้นตอนที่ 9 หากจำเป็น ให้ค้นหาและวาดจุดตัดแกน y

แม้ว่ามักจะไม่จำเป็นต้องหาค่าตัดแกน y ในสมการ (จุดที่พาราโบลาผ่านแกน y) คุณก็อาจต้องหามันให้เจอ โดยเฉพาะอย่างยิ่งถ้าคุณอยู่ในโรงเรียน กระบวนการนี้ค่อนข้างง่าย แค่สร้าง x = 0 แล้วแก้สมการสำหรับ f(x) หรือ y ซึ่งให้ค่าของ y โดยที่พาราโบลาของคุณผ่านแกน y พาราโบลาปกติสามารถมีจุดตัด y ได้เพียงอันเดียวไม่เหมือนกับจุดตัดแกน x หมายเหตุ – สำหรับสมการของรูปแบบทั่วไป ค่าตัดแกน y อยู่ที่ y = c

• ตัวอย่างเช่น เรารู้ว่าสมการกำลังสองของเราคือ 2x² + 16x + 39 มีการสกัดกั้น y ที่ y = 39 แต่สามารถพบได้ด้วยวิธีต่อไปนี้:

  • ฉ(x) = 2x² +16x+39
  • ฉ(x) = 2(0)² + 16(0) + 39

  • f(x) = 39. จุดตัดแกน y ของพาราโบลาอยู่ที่ y = 39.

    ดังที่กล่าวไว้ข้างต้น ค่าตัดแกน y อยู่ที่ y = c

• รูปแบบของสมการจุดยอดของเราคือ 4(x - 5)² +12 มีการสกัดกั้น y ซึ่งสามารถพบได้ด้วยวิธีต่อไปนี้:

  • ฉ(x) = 4(x - 5)² + 12
  • ฉ(x) = 4(0 - 5)² + 12
  • ฉ(x) = 4(-5)² + 12
  • ฉ(x) = 4(25) + 12

  • f(x) = 112 จุดตัดแกน y ของพาราโบลาอยู่ที่ y = 112.

ขั้นตอนที่ 10 หากจำเป็น ให้วาดจุดเพิ่มเติม จากนั้นวาดกราฟ

ตอนนี้คุณมีจุดยอด, ทิศทาง, ค่าตัดแกน x และบางที ค่าตัดแกน y ในสมการของคุณ ในขั้นตอนนี้ คุณสามารถลองวาดพาราโบลาโดยใช้จุดที่คุณมีเป็นแนวทาง หรือมองหาจุดอื่นๆ เพื่อเติมพาราโบลาของคุณเพื่อให้เส้นโค้งที่คุณวาดนั้นแม่นยำยิ่งขึ้น วิธีที่ง่ายที่สุดในการทำเช่นนี้คือการป้อนค่า x ลงในด้านใดด้านหนึ่งของจุดยอดของคุณ จากนั้นพล็อตจุดเหล่านี้โดยใช้ค่า y ที่คุณได้รับ บ่อยครั้ง ครูขอให้คุณมองหาหลายจุดก่อนที่จะวาดพาราโบลา

• มาทบทวนสมการ x. กัน² + 2x + 1 เรารู้แล้วว่าจุดตัด x อยู่ที่ x = -1 เท่านั้น เนื่องจากเส้นโค้งสัมผัสกับจุดตัด x ที่จุดหนึ่งเท่านั้น เราสามารถสรุปได้ว่าจุดยอดคือจุดตัด x ของมัน ซึ่งหมายความว่าจุดยอดคือ (-1, 0) เรามีจุดเดียวสำหรับพาราโบลานี้อย่างมีประสิทธิภาพ – ไม่เพียงพอที่จะวาดพาราโบลาที่ดี ลองมองหาจุดอื่นๆ เพื่อให้แน่ใจว่าเราวาดกราฟอย่างละเอียด

  • มาหาค่า y สำหรับค่า x ต่อไปนี้กัน: 0, 1, -2, และ -3
  • สำหรับ 0: f(x) = (0)² + 2(0) + 1 = 1. ประเด็นของเราคือ (0, 1).

  • สำหรับ 1: f(x) = (1)² + 2(1) + 1 = 4. ประเด็นของเราคือ (1, 4).

  • สำหรับ -2: f(x) = (-2)² + 2(-2) + 1 = 1. ประเด็นของเราคือ (-2, 1).

  • สำหรับ -3: f(x) = (-3)² + 2(-3) + 1 = 4. ประเด็นของเราคือ (-3, 4).

  • วาดจุดเหล่านี้บนกราฟแล้ววาดเส้นโค้งรูปตัวยู โปรดทราบว่าพาราโบลามีความสมมาตรอย่างสมบูรณ์ – เมื่อจุดของคุณที่ด้านหนึ่งของพาราโบลาเป็นจำนวนเต็ม คุณมักจะลดการทำงานของการสะท้อนจุดที่กำหนดบนแกนสมมาตรของพาราโบลาเพื่อหาจุดเดียวกันในอีกด้านหนึ่งของพาราโบลา.

เคล็ดลับ

• ตัวเลขกลมหรือใช้เศษส่วนตามคำขอของครูพีชคณิตของคุณ วิธีนี้จะช่วยให้คุณสร้างกราฟสมการกำลังสองได้ดีขึ้น
• โปรดทราบว่าใน f(x) = ax² + bx + c ถ้า b หรือ c เท่ากับศูนย์ ตัวเลขเหล่านี้จะหายไป ตัวอย่างเช่น 12x² + 0x + 6 กลายเป็น 12x² + 6 เพราะ 0x คือ 0