3 วิธีในการลดความซับซ้อนของสแควร์รูท

2024 ผู้เขียน: Jason Gerald | [email protected]. แก้ไขล่าสุด: 2023-12-16 11:42

การลดความซับซ้อนของสแควร์รูทไม่ได้ยากอย่างที่คิด ในการทำให้สแควร์รูทง่ายขึ้น คุณแค่ต้องแยกตัวประกอบตัวเลขและหาสแควร์รูทของกำลังสองสมบูรณ์ใดๆ ก็ตามที่อยู่ใต้สแควร์รูท หากคุณจำได้ว่ากำลังสองสมบูรณ์ที่ใช้กันทั่วไปและรู้วิธีแยกตัวประกอบตัวเลข คุณจะสามารถย่อรากที่สองได้ง่ายขึ้น

ขั้นตอน

วิธีที่ 1 จาก 3: ลดความซับซ้อนของสแควร์รูทโดยแฟคตอริ่ง

ขั้นตอนที่ 1. ทำความเข้าใจเกี่ยวกับปัจจัยต่างๆ

เป้าหมายของการลดความซับซ้อนของสแควร์รูทคือการเขียนพวกมันในรูปแบบที่เข้าใจง่ายและใช้ในโจทย์คณิตศาสตร์ โดยการแยกตัวประกอบ ตัวเลขจำนวนมากแบ่งออกเป็นตัวเลข "ตัวประกอบ" ที่เล็กกว่าสองตัวหรือมากกว่านั้น เช่น การเปลี่ยน 9 เป็น 3 x 3 เมื่อเราพบตัวประกอบนี้แล้ว เราสามารถเขียนรากที่สองใหม่ในรูปแบบที่ง่ายกว่า บางครั้งถึงกับเปลี่ยนเป็น จำนวนเต็มปกติ ตัวอย่างเช่น 9 = (3x3) = 3 ทำตามขั้นตอนเหล่านี้เพื่อเรียนรู้เกี่ยวกับกระบวนการนี้ในรากที่สองที่ซับซ้อนมากขึ้น

ขั้นตอนที่ 2 หารตัวเลขด้วยจำนวนเฉพาะที่น้อยที่สุดที่เป็นไปได้

หากตัวเลขที่อยู่ใต้รากที่สองเป็นจำนวนคู่ ให้หารด้วย 2 หากตัวเลขของคุณเป็นเลขคี่ ให้ลองหารด้วย 5 หากการหารเหล่านี้ไม่ได้ให้จำนวนเต็มแก่คุณ ให้ลองใช้ตัวเลขถัดไปในรายการด้านล่าง หารด้วยแต่ละตัว number. ไพรม์เพื่อให้ได้จำนวนเต็มเป็นผล คุณต้องทดสอบเฉพาะจำนวนเฉพาะเท่านั้น เนื่องจากจำนวนอื่นๆ ทั้งหมดมีตัวเลขเฉพาะเป็นตัวประกอบ ตัวอย่างเช่น คุณไม่จำเป็นต้องทดสอบด้วยเลข 4 เพราะตัวเลขทั้งหมดที่หารด้วย 4 ลงตัวจะหารด้วย 2 ลงตัว ซึ่งคุณเคยลองมาก่อน

• 2
• 3
• 5
• 7
• 11
• 13
• 17

ขั้นตอนที่ 3 เขียนสแควร์รูทใหม่ว่าเป็นปัญหาการคูณ

เขียนการคูณนี้ต่อไปภายใต้รากที่สอง และอย่าลืมรวมปัจจัยทั้งสองด้วย ตัวอย่างเช่น หากคุณกำลังพยายามลดความซับซ้อนของ 98 ให้ทำตามขั้นตอนด้านบนเพื่อค้นหาว่า 98 2 = 49 ดังนั้น 98 = 2 x 49 เขียนตัวเลข "98" ใหม่ในสแควร์รูทเดิมโดยใช้ข้อมูลนี้: 98 = (2 x 49).

ขั้นตอนที่ 4 ทำซ้ำกับตัวเลขที่เหลือ

ก่อนที่เราจะลดรากที่สองลงได้ เราต้องแยกตัวประกอบมันไปเรื่อยๆ จนกว่ามันจะกลายเป็นตัวเลขสองจำนวนที่เท่ากันทุกประการ สิ่งนี้สมเหตุสมผลถ้าคุณจำได้ว่ารากที่สองหมายถึงอะไร: ตัวเลข (2 x 2) หมายถึง "ตัวเลขที่คุณสามารถคูณด้วยตัวมันเองได้เท่ากับ 2 x 2" แน่นอน คำตอบคือ 2! โดยคำนึงถึงสิ่งนี้ ให้ทำซ้ำขั้นตอนข้างต้นเพื่อแก้ปัญหาตัวอย่างของเรา (2 x 49):

• 2 แยกตัวประกอบให้น้อยที่สุด (กล่าวอีกนัยหนึ่ง ตัวเลขนี้เป็นหนึ่งในจำนวนเฉพาะที่ระบุไว้ข้างต้น) เราจะเพิกเฉยต่อตัวเลขนี้ในตอนนี้และลองหารด้วย 49 ก่อน
• 49 ไม่สามารถหารด้วย 2 หรือ 3 หรือ 5 ได้ทั้งหมด คุณสามารถทดสอบด้วยตัวเองโดยใช้เครื่องคิดเลขหรือใช้การหารยาว เนื่องจากการหารนี้ไม่ได้ให้จำนวนเต็ม เราจะเพิกเฉยและลองใช้เลขถัดไป
• 49 หารด้วย 7. ลงตัว 49 7 = 7 ดังนั้น 49 = 7 x 7
• เขียนปัญหาข้างต้นใหม่ด้วย: (2 x 49) = (2 x 7 x 7)

ขั้นตอนที่ 5. แก้โดย "แยก" จำนวนเต็ม

เมื่อคุณแก้ปัญหาออกเป็นสองปัจจัยที่เท่ากันทุกประการแล้ว คุณสามารถแปลงเป็นจำนวนเต็มปกตินอกรากที่สองได้ ปล่อยให้ปัจจัยที่เหลือยังคงอยู่ในรากที่สอง ตัวอย่างเช่น (2 x 7 x 7) = (2)√(7 x 7) = (2) x 7 = 7√(2)

แม้ว่าคุณสามารถแยกตัวประกอบเพิ่มเติมได้ คุณจะไม่ต้องทำอีกเมื่อคุณพบสองปัจจัยที่ตรงกันทุกประการ ตัวอย่างเช่น (16) = (4 x 4) = 4 หากเราเก็บแฟคตอริ่งไว้ เราก็จะได้คำตอบเดิมแต่ในเชิงที่ยาวกว่านั้น: (16) = (4 x 4) = (2 x 2 x 2 x 2) = (2 x 2)√(2 x 2) = 2 x 2 = 4

ขั้นตอนที่ 6 คูณจำนวนเต็มทั้งหมดถ้ามีมากกว่าหนึ่ง

สำหรับจำนวนรากที่สองจำนวนมาก คุณสามารถลดรูปได้มากกว่าหนึ่งครั้ง หากเป็นกรณีนี้ ให้คูณจำนวนเต็มที่ได้เพื่อให้ได้คำตอบสุดท้าย นี่คือตัวอย่าง:

• 180 = (2 x 90)
• 180 = (2 x 2 x 45)
• 180 = 2√45 แต่ค่านี้สามารถทำให้ง่ายขึ้นได้อีก
• 180 = 2√(3 x 15)
• 180 = 2√(3 x 3 x 5)
• √180 = (2)(3√5)
• √180 = 6√5

ขั้นตอนที่ 7 เขียนว่า "ไม่สามารถทำให้ง่ายขึ้น" หากไม่มีตัวประกอบสองตัวเท่ากัน

รากที่สองบางจำนวนอยู่ในรูปแบบที่ง่ายที่สุดอยู่แล้ว หากคุณเก็บแฟคตอริ่งไว้จนกว่าทั้งหมดจะเป็นจำนวนเฉพาะ (ตามที่ระบุไว้ในขั้นตอนด้านบน) และไม่มีคู่ใดเหมือนกัน แสดงว่าคุณทำอะไรไม่ได้ คุณอาจได้รับคำถามกับดัก! ตัวอย่างเช่น ลองลดความซับซ้อนของ 70:

• 70 = 35 x 2 ดังนั้น 70 = (35 x 2)
• 35 = 7 x 5 ดังนั้น (35 x 2) = (7 x 5 x 2)
• ตัวเลขทั้งสามตัวนี้เป็นจำนวนเฉพาะ ดังนั้นจึงแยกตัวประกอบไม่ได้แล้ว ตัวเลขทั้งสามนั้นต่างกัน ดังนั้นจึงเป็นไปไม่ได้ที่จะสร้างจำนวนเต็ม 70 ไม่สามารถลดความซับซ้อนได้

วิธีที่ 2 จาก 3: การจำแนก Perfect Squares

ขั้นตอนที่ 1. จำช่องสี่เหลี่ยมที่สมบูรณ์แบบ

การยกกำลังจำนวนหนึ่งหรือการคูณด้วยตัวมันเอง จะเป็นการสร้างกำลังสองสมบูรณ์ ตัวอย่างเช่น 25 เป็นกำลังสองสมบูรณ์ เพราะ 5 x 5 หรือ 5²เท่ากับ 25 จำอย่างน้อยสิบกำลังสองสมบูรณ์สิบตัวแรกเพื่อช่วยให้คุณระบุและทำให้รากที่สองสมบูรณ์ง่ายขึ้น ต่อไปนี้คือเลขกำลังสองสมบูรณ์สิบตัวแรก:

• 1² = 1
• 2² = 4
• 3² = 9
• 4² = 16
• 5² = 25
• 6² = 36
• 7² = 49
• 8² = 64
• 9² = 81
• 10² = 100

ขั้นที่ 2. หารากที่สองของกำลังสองสมบูรณ์

หากคุณจำสแควร์รูทได้สมบูรณ์ภายใต้สแควร์รูท คุณสามารถแปลงเป็นสแควร์รูทได้ทันทีและลบออกจากเครื่องหมาย (√) ตัวอย่างเช่น หากคุณเห็นตัวเลข 25 ใต้รากที่สอง คุณรู้อยู่แล้วว่าคำตอบคือ 5 เพราะ 25 เป็นกำลังสองสมบูรณ์ รายการเหมือนกับข้างบน โดยเริ่มจากรากที่สองถึงคำตอบ:

• √1 = 1
• √4 = 2
• √9 = 3
• √16 = 4
• √25 = 5
• √36 = 6
• √49 = 7
• √64 = 8
• √81 = 9
• √100 = 10

ขั้นตอนที่ 3 แยกตัวประกอบตัวเลขเป็นกำลังสองสมบูรณ์

ใช้ประโยชน์จากกำลังสองสมบูรณ์เมื่อดำเนินการต่อด้วยวิธีการแยกตัวประกอบเพื่อลดความซับซ้อนของสแควร์รูท หากคุณทราบปัจจัยต่างๆ ของกำลังสองสมบูรณ์ คุณจะแก้ปัญหาได้เร็วและง่ายขึ้น นี่คือเคล็ดลับบางประการที่คุณสามารถใช้ได้:

• 50 = (25 x 2) = 5√2. หากตัวเลขสองหลักสุดท้ายของตัวเลขลงท้ายด้วย 25, 50 หรือ 75 คุณสามารถแยกตัวประกอบ 25 ของตัวเลขนั้นได้เสมอ
• 1700 = (100 x 17) = 10√17. หากตัวเลขสองตัวสุดท้ายลงท้ายด้วย 00 คุณจะแยกตัวประกอบ 100 ของจำนวนนั้นได้เสมอ
• 72 = (9 x 8) = 3√8 ทำความรู้จักกับการคูณเก้าเพื่อให้ง่ายขึ้นสำหรับคุณ นี่คือเคล็ดลับในการจดจำ: ถ้า "ทั้งหมด" ของตัวเลขในตัวเลขรวมกันเป็นเก้า เก้าก็เป็นปัจจัยหนึ่ง
• 12 = (4 x 3) = 2√3. ไม่มีคำแนะนำเฉพาะในที่นี้ แต่โดยปกติการตรวจสอบว่าจำนวนน้อยหารด้วย 4 ลงตัวหรือไม่ ให้คำนึงถึงเรื่องนี้เสมอเมื่อมองหาปัจจัยอื่นๆ

ขั้นตอนที่ 4 แยกตัวประกอบตัวเลขที่มีกำลังสองสมบูรณ์มากกว่าหนึ่งตัว

หากตัวประกอบของจำนวนหนึ่งมีกำลังสองสมบูรณ์มากกว่าหนึ่งตัว ให้เอาตัวประกอบทั้งหมดออกจากรากที่สอง หากคุณได้กำลังสองสมบูรณ์หลายตัวในกระบวนการลดรูปรากที่สอง ให้ย้ายรากที่สองทั้งหมดออกไปนอกเครื่องหมายแล้วคูณทั้งหมดเข้าด้วยกัน ตัวอย่างเช่น พยายามลดความซับซ้อนของ 72:

• 72 = (9 x 8)
• 72 = (9 x 4 x 2)
• 72 = (9) x (4) x (2)
• 72 = 3 x 2 x 2
• √72 = 6√2

วิธีที่ 3 จาก 3: การทำความเข้าใจข้อกำหนด

ขั้นตอนที่ 1. รู้ว่าเครื่องหมายกรณฑ์ (√) คือเครื่องหมายกรณฑ์

ตัวอย่างเช่น ในปัญหาที่ 25 "√" คือเครื่องหมายรูท

ขั้นตอนที่ 2 รู้ว่าตัวถูกถอดกรณฑ์คือตัวเลขภายในเครื่องหมายรูท

นี่คือจำนวนที่คุณต้องคำนวณรากที่สองของ ตัวอย่างเช่น ในโจทย์ของ 25 "25" คือรากที่สอง

ขั้นตอนที่ 3 รู้ว่าสัมประสิทธิ์เป็นตัวเลขนอกรากที่สอง

ตัวเลขนี้เป็นรากที่สองของตัวคูณ ตัวเลขนี้อยู่ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายรูท ตัวอย่างเช่น ในโจทย์ 7√2 "7" คือค่าสัมประสิทธิ์

ขั้นตอนที่ 4 รู้ว่าตัวประกอบคือจำนวนที่หารด้วยจำนวนลงตัว

ตัวอย่างเช่น 2 เป็นตัวประกอบของ 8 เพราะ 8 4 = 2 แต่ 3 ไม่ใช่ตัวประกอบของ 8 เพราะ 8÷3 ไม่ได้ให้จำนวนเต็ม เช่นเดียวกับในตัวอย่างอื่นๆ 5 เป็นตัวประกอบของ 25 เพราะ 5 x 5 = 25

ขั้นตอนที่ 5. เข้าใจความหมายของการทำให้รากที่สองง่ายขึ้น

การลดความซับซ้อนของสแควร์รูทหมายถึงการแยกตัวประกอบกำลังสองสมบูรณ์ของสแควร์รูท ลบไปทางซ้ายของเครื่องหมายกรณฑ์ และปล่อยให้แฟคเตอร์ที่เหลืออยู่ภายใต้เครื่องหมายกรณฑ์ หากตัวเลขเป็นกำลังสองสมบูรณ์ รากที่สองจะหายไปเมื่อคุณจดรูท ตัวอย่างเช่น 98 สามารถลดความซับซ้อนเป็น 7√2

เคล็ดลับ

วิธีหนึ่งในการหากำลังสองสมบูรณ์ที่สามารถแยกตัวประกอบเป็นตัวเลขได้คือการดูรายการกำลังสองสมบูรณ์ เริ่มต้นด้วยค่าที่น้อยกว่ารากที่สองของคุณ หรือด้วยตัวเลขที่ต่ำกว่ารากที่สอง ตัวอย่างเช่น เมื่อมองหากำลังสองสมบูรณ์ที่ไม่เกิน 27 ให้เริ่มต้นด้วย 25 แล้วลดเหลือ 16 และ "หยุดที่ 9" เมื่อคุณพบกำลังสองสมบูรณ์ที่หาร 27

คำเตือน

• การลดความซับซ้อนไม่เหมือนกับการคำนวณค่า ไม่มีขั้นตอนใดในกระบวนการนี้กำหนดให้คุณต้องได้ตัวเลขที่มีทศนิยมอยู่ในนั้น
• เครื่องคิดเลขอาจมีประโยชน์สำหรับตัวเลขจำนวนมาก แต่ยิ่งคุณฝึกฝนด้วยตัวเองมากเท่าไร การทำให้รากที่สองง่ายขึ้นก็จะยิ่งง่ายขึ้น