3 วิธีในการแยกตัวประกอบ Trinomial

2024 ผู้เขียน: Jason Gerald | [email protected]. แก้ไขล่าสุด: 2024-01-15 08:25

Trinomial คือนิพจน์เกี่ยวกับพีชคณิตที่ประกอบด้วยสามเทอม เป็นไปได้มากที่คุณจะเริ่มเรียนรู้วิธีแยกตัวประกอบไตรนามกำลังสอง ซึ่งหมายถึงไตรนามที่เขียนในรูปขวาน² + bx + ค. มีเทคนิคบางอย่างให้เรียนรู้ ซึ่งสามารถใช้ได้กับไตรโนเมียลกำลังสองหลายประเภท แต่คุณจะสามารถใช้มันได้ดีขึ้นและเร็วขึ้นด้วยการฝึกฝน พหุนามลำดับที่สูงกว่า โดยมีพจน์เช่น x³ หรือ x⁴ไม่สามารถแก้ไขได้ในลักษณะเดียวกันเสมอไป แต่คุณมักจะใช้แฟคตอริ่งหรือการแทนที่อย่างง่ายเพื่อทำให้เกิดปัญหาที่สามารถแก้ไขได้เช่นเดียวกับสูตรสมการกำลังสองอื่นๆ

ขั้นตอน

วิธีที่ 1 จาก 3: แฟคตอริ่ง x² + bx + c

ขั้นตอนที่ 1 เรียนรู้การคูณ PLDT

คุณอาจได้เรียนรู้วิธีคูณ PLDT หรือ "First, Outside, In, Last" เพื่อคูณนิพจน์เช่น (x+2)(x+4) การรู้ว่าการคูณนี้ทำงานอย่างไรก่อนที่เราจะแยกปัจจัย:

• ทวีคูณชนเผ่า อันดับแรก: (NS+2)(NS+4) = NS² + _

• ทวีคูณชนเผ่า ข้างนอก: (NS+2)(x+

  ขั้นตอนที่ 4) = x²+ 4x + _

• ทวีคูณชนเผ่า ใน: (x+

  ขั้นตอนที่ 2.)(NS+4) = x²+4x+ 2x + _

• ทวีคูณชนเผ่า สุดท้าย: (x+

  ขั้นตอนที่ 2.)(NS

  ขั้นตอนที่ 4) = x²+4x+2x

  ขั้นตอนที่ 8

• ลดความซับซ้อน: x²+4x+2x+8 = x²+6x+8

ขั้นตอนที่ 2 ทำความเข้าใจแฟคตอริ่ง

เมื่อคุณคูณทวินามสองตัวโดยใช้วิธี PLDT คุณจะได้ไตรนาม (นิพจน์ที่มีสามเทอม) ในรูปแบบ a x²+ b x+ c โดยที่ a, b และ c เป็นตัวเลขธรรมดา หากคุณเริ่มต้นด้วยสมการที่มีรูปแบบเดียวกัน คุณสามารถแยกตัวประกอบกลับเป็นทวินามสองอันได้

• ถ้าสมการไม่ได้เขียนในลำดับนี้ ให้จัดเรียงสมการใหม่เพื่อให้มีลำดับนี้ ตัวอย่างเช่น เขียนใหม่ 3x - 10 + x² กลายเป็น NS² + 3x - 10.
• เพราะกำลังสูงสุดคือ 2 (x²นิพจน์ประเภทนี้เรียกว่ากำลังสอง

ขั้นตอนที่ 3 เว้นช่องว่างสำหรับคำตอบในรูปแบบของการคูณ PLDT

ตอนนี้แค่เขียน (_ _)(_ _) ที่คุณจะเขียนคำตอบ เราจะเติมระหว่างดำเนินการ

อย่าเขียน + หรือ – ระหว่างคำที่ว่างเปล่าเพราะเรายังไม่ทราบเครื่องหมายที่ถูกต้อง

ขั้นตอนที่ 4 กรอกเงื่อนไขแรก

สำหรับปัญหาง่ายๆ เทอมแรกของไตรนามของคุณคือ x², เงื่อนไขในตำแหน่งแรกเสมอ NS และ NS. นี่คือปัจจัยของคำว่า x² เพราะ x คูณ x = x².

• ตัวอย่างของเรา x² + 3x - 10 เริ่มต้นด้วย x²ดังนั้นเราจึงสามารถเขียน:
• (x _)(x _)
• เราจะแก้ไขปัญหาที่ซับซ้อนมากขึ้นในหัวข้อถัดไป รวมถึงไตรนามที่ขึ้นต้นด้วยคำศัพท์เช่น 6x² หรือ -x². ในระหว่างนี้ ให้ทำตามคำถามตัวอย่างเหล่านี้

ขั้นตอนที่ 5. ใช้แฟคตอริ่งเพื่อเดาเงื่อนไขสุดท้าย

หากคุณย้อนกลับไปอ่านขั้นตอนวิธีการคูณ PLDT คุณจะเห็นว่าการคูณพจน์สุดท้ายจะทำให้เกิดพจน์สุดท้ายในพหุนาม (พจน์ที่ไม่มี x) ในการแยกตัวประกอบ เราต้องหาจำนวนสองตัวที่เมื่อคูณแล้วจะได้เทอมสุดท้าย

• ในตัวอย่างของเรา x² + 3x - 10 เทอมสุดท้ายคือ -10
• อะไรคือปัจจัยของ -10? จำนวนใดคูณด้วย -10?
• มีความเป็นไปได้หลายประการ: -1 คูณ 10, 1 คูณ -10, -2 คูณ 5 หรือ 2 คูณ -5 เขียนคู่เหล่านี้ไว้ที่ใดที่หนึ่งเพื่อระลึกถึงพวกเขา
• อย่าเพิ่งเปลี่ยนคำตอบของเรา คำตอบของเราควรมีลักษณะดังนี้: (x _)(x _).

ขั้นตอนที่ 6 ทดสอบความเป็นไปได้ที่ตรงกับผลิตภัณฑ์ภายนอกและภายใน

เราได้จำกัดเงื่อนไขสุดท้ายให้แคบลงเหลือความเป็นไปได้สองสามอย่าง ใช้ระบบทดลองเพื่อทดสอบทุกความเป็นไปได้ คูณเงื่อนไขภายนอกและภายใน และเปรียบเทียบผลิตภัณฑ์กับไตรนามของเรา ตัวอย่างเช่น:

• ปัญหาเดิมของเรามีคำว่า "x" อยู่ที่ 3x ดังนั้นผลการทดสอบของเราจึงควรตรงกับคำนี้
• การทดสอบ -1 และ 10: (x-1)(x+10) ภายนอก + ภายใน = 10x - x = 9x ผิด.
• การทดสอบ 1 และ -10: (x+1)(x-10) -10x + x = -9x นี้เป็นสิ่งที่ผิด อันที่จริง หากคุณทดสอบ -1 และ 10 คุณจะพบว่า 1 และ -10 อยู่ตรงข้ามกับคำตอบข้างต้น: -9x แทนที่จะเป็น 9x
• การทดสอบ -2 และ 5: (x-2)(x+5) 5x - 2x = 3x ผลลัพธ์สอดคล้องกับพหุนามตั้งต้น ดังนั้นนี่คือคำตอบที่ถูกต้อง: (x-2)(x+5).
• ในกรณีง่ายๆ แบบนี้ หากคุณไม่มีค่าคงที่นำหน้าเทอม x²คุณสามารถใช้วิธีที่รวดเร็ว: เพียงบวกสองปัจจัยแล้วใส่ "x" ข้างหลัง (-2+5 → 3x) อย่างไรก็ตาม วิธีนี้ใช้ไม่ได้กับปัญหาที่ซับซ้อนมากขึ้น ดังนั้นจึงเป็นการดีกว่าที่จะจำ "ทางยาว" ที่อธิบายไว้ข้างต้น

วิธีที่ 2 จาก 3: การแยกตัวประกอบ Trinomials ที่ซับซ้อนมากขึ้น

ขั้นตอนที่ 1 ใช้แฟคตอริ่งอย่างง่ายเพื่อทำให้ปัญหาที่ซับซ้อนมากขึ้นง่ายขึ้น

ตัวอย่างเช่น คุณต้องแยกตัวประกอบ 3x² + 9x - 30. ค้นหาตัวเลขที่สามารถแยกตัวประกอบทั้งสามคำได้ ("ตัวประกอบร่วมที่ยิ่งใหญ่ที่สุด" หรือ GCF) ในกรณีนี้ GCF คือ 3:

• 3x² = (3)(x²)
• 9x = (3)(3x)
• -30 = (3)(-10)
• ดังนั้น 3x² + 9x - 30 = (3)(x²+3x-10) เราสามารถแยก trinomial ใหม่ออกมาได้โดยใช้ขั้นตอนในหัวข้อด้านบน คำตอบสุดท้ายของเราคือ (3)(x-2)(x+5).

ขั้นตอนที่ 2 มองหาปัจจัยที่ซับซ้อนกว่านี้

บางครั้ง การแยกตัวประกอบอาจเกี่ยวข้องกับตัวแปร หรือคุณอาจต้องแยกตัวประกอบหลายๆ ครั้งเพื่อค้นหานิพจน์ที่ง่ายที่สุด นี่คือตัวอย่างบางส่วน:

• 2x²y + 14xy + 24y = (2 ปี)(NS² + 7x + 12)
• NS⁴ + 11x³ - 26x² = (NS²)(NS² +11x - 26)
• -NS² + 6x - 9 = (-1)(NS² - 6x + 9)
• อย่าลืมปรับโครงสร้าง trinomial ใหม่โดยใช้ขั้นตอนในวิธีที่ 1 ตรวจสอบงานของคุณและมองหาตัวอย่างปัญหาที่คล้ายกันในคำถามตัวอย่างบริเวณด้านล่างสุดของหน้านี้

ขั้นตอนที่ 3 แก้ปัญหาด้วยตัวเลขหน้า x².

ไม่สามารถลดรูปไตรลักษณ์กำลังสองบางตัวให้เป็นปัญหาที่ง่ายที่สุดได้ เรียนรู้วิธีแก้ปัญหา เช่น 3x² + 10x + 8 จากนั้นฝึกฝนด้วยตัวเองด้วยคำถามตัวอย่างที่ด้านล่างของหน้านี้:

• กำหนดคำตอบของเราเป็น: (_ _)(_ _)
• เทอม "แรก" ของเราจะมี x หนึ่งตัว และคูณมันได้ 3x². มีความเป็นไปได้เพียงอย่างเดียว: (3x _)(x _).
• ระบุตัวประกอบของ 8 อัตราต่อรองคือ 1 คูณ 8 หรือ 2 คูณ 4
• ทดสอบความเป็นไปได้นี้โดยใช้เงื่อนไขภายนอกและภายใน สังเกตว่า ลำดับของตัวประกอบมีความสำคัญมาก เนื่องจากพจน์ภายนอกคูณด้วย 3x แทนที่จะเป็น x ลองทุกความเป็นไปได้จนกว่าคุณจะได้รับ Out+In = 10x (จากปัญหาเดิม):
• (3x+1)(x+8) → 24x+x = 25x ไม่
• (3x+8)(x+1) → 3x+8x = 11x ไม่
• (3x+2)(x+4) → 12x+2x=14x ไม่
• (3x+4)(x+2) → 6x+4x=10x ใช่. นี่คือปัจจัยที่ถูกต้อง

ขั้นตอนที่ 4 ใช้การทดแทนสำหรับ trinomial ที่มีลำดับสูงกว่า

หนังสือคณิตศาสตร์ของคุณอาจทำให้คุณประหลาดใจด้วยสมการที่มีพลังสูง เช่น x⁴แม้หลังจากที่คุณใช้แฟคตอริ่งอย่างง่ายเพื่อทำให้ปัญหาง่ายขึ้น ลองแทนที่ตัวแปรใหม่ที่จะเปลี่ยนเป็นปัญหาที่คุณทราบวิธีแก้ปัญหา ตัวอย่างเช่น:

• NS⁵+13x³+36x
• =(x)(x⁴+13x²+36)
• มาสร้างตัวแปรใหม่กัน สมมุติว่า y = x² และใส่ลงไปว่า
• (x)(ย²+13ปี+36)
• =(x)(y+9)(y+4). ตอนนี้แปลงกลับเป็นตัวแปรเริ่มต้น:
• =(x)(x²+9)(x²+4)
• = (x)(x±3)(x±2)

วิธีที่ 3 จาก 3: การแยกตัวประกอบกรณีพิเศษ

ขั้นตอนที่ 1. หาจำนวนเฉพาะ

ดูว่าค่าคงที่ในเทอมแรกหรือเทอมที่สามของไตรนามเป็นจำนวนเฉพาะหรือไม่ จำนวนเฉพาะหารด้วยตัวมันเองและ 1 เท่านั้น ดังนั้นจึงมีตัวประกอบทวินามคู่เดียวที่เป็นไปได้

• ตัวอย่างเช่น ใน x² + 6x + 5, 5 เป็นจำนวนเฉพาะ ดังนั้นทวินามจึงต้องอยู่ในรูปแบบ (_ 5)(_ 1)
• ในปัญหาของ 3x²+10x+8, 3 เป็นจำนวนเฉพาะ ดังนั้นทวินามจึงต้องอยู่ในรูปแบบ (3x _)(x _)
• สำหรับคำถาม 3x²+4x+1 ทั้ง 3 และ 1 เป็นจำนวนเฉพาะ ดังนั้นคำตอบเดียวที่เป็นไปได้คือ (3x+1)(x+1) (คุณควรคูณตัวเลขนี้เพื่อตรวจสอบคำตอบเพราะบางนิพจน์ไม่สามารถแยกตัวประกอบได้เลย เช่น 3x²+100x+1 ไม่มีตัวประกอบ)

ขั้นที่ 2. ค้นหาว่า trinomial เป็นกำลังสองสมบูรณ์หรือไม่

ไตรโนเมียลกำลังสองสมบูรณ์สามารถแยกตัวประกอบเป็นทวินามที่เหมือนกันได้สองตัว และตัวประกอบมักจะเขียนเป็น (x+1)² และไม่ใช่ (x+1)(x+1) ต่อไปนี้คือตัวอย่างบางส่วนที่มักจะปรากฏในคำถาม:

• NS²+2x+1=(x+1)², และ x²-2x+1=(x-1)²
• NS²+4x+4=(x+2)², และ x²-4x+4=(x-2)²
• NS²+6x+9=(x+3)², และ x²-6x+9=(x-3)²
• ไตรโนเมียลกำลังสองสมบูรณ์ในรูปแบบ a x² + bx + c มีเทอม a และ c ที่เป็นกำลังสองสมบูรณ์บวกเสมอ (เช่น 1, 4, 9, 16 หรือ 25) และหนึ่งเทอม b (บวกหรือลบ) ซึ่งเท่ากับ 2(√a * √c).

ขั้นตอนที่ 3 ค้นหาว่าปัญหาไม่มีวิธีแก้ไขหรือไม่

ไม่สามารถแยกตัวประกอบไตรนามทั้งหมดได้ หากคุณไม่สามารถแยกตัวประกอบไตรโนเมียลกำลังสอง (ax²+bx+c) ใช้สูตรสมการกำลังสองเพื่อหาคำตอบ ถ้าคำตอบเดียวคือรากที่สองของจำนวนลบ แสดงว่าไม่มีคำตอบของจำนวนจริง ปัญหาก็ไม่มีตัวประกอบ

สำหรับไตรนามที่ไม่ใช่สี่เหลี่ยมจัตุรัส ให้ใช้เกณฑ์ Eisenstein ซึ่งอธิบายไว้ในส่วนเคล็ดลับ

คำตอบและคำถามตัวอย่าง

1. คำตอบสำหรับคำถาม "แฟคตอริ่งที่ซับซ้อน"

   คำถามเหล่านี้เป็นคำถามจากขั้นตอน "ปัจจัยที่ซับซ้อนยิ่งขึ้น" เราได้ลดความซับซ้อนของปัญหาให้กลายเป็นปัญหาที่ง่ายกว่า ดังนั้นให้พยายามแก้ปัญหาโดยใช้ขั้นตอนในวิธีที่ 1 จากนั้นตรวจสอบงานของคุณที่นี่:

   • (2y)(x² + 7x + 12) = (x+3)(x+4)
   • (NS²)(NS² + 11x - 26) = (x+13)(x-2)
   • (-1)(x² - 6x + 9) = (x-3)(x-3) = (x-3)²

2. ลองใช้ปัญหาแฟคตอริ่งที่ซับซ้อนกว่านี้

   ปัญหาเหล่านี้มีปัจจัยที่เหมือนกันในแต่ละเทอมซึ่งต้องแยกตัวประกอบก่อน บล็อกช่องว่างหลังเครื่องหมายเท่ากับเพื่อดูคำตอบเพื่อให้คุณสามารถตรวจสอบงานของคุณ:

   • 3x³+3x²-6x = (3x)(x+2)(x-1) บล็อกช่องว่างเพื่อดูคำตอบ
   • -5x³y²+30x²y²-25ปี²x = (-5xy^2)(x-5)(x-1)

3. ฝึกใช้คำถาม. ปัญหาเหล่านี้ไม่สามารถแยกตัวประกอบเป็นสมการที่ง่ายกว่าได้ ดังนั้นคุณจะต้องค้นหาคำตอบในรูปแบบ (_x + _)(_x + _) โดยใช้การลองผิดลองถูก:

   • 2x²+3x-5 = (2x+5)(x-1) บล็อกเพื่อดูคำตอบ
   • 9x²+6x+1 = (3x+1)(3x+1)=(3x+1)² (คำแนะนำ: คุณอาจต้องการลองคู่ปัจจัยมากกว่าหนึ่งคู่สำหรับ 9x)

   เคล็ดลับ

   • หากคุณไม่ทราบวิธีแยกตัวประกอบไตรโนเมียลกำลังสอง (ax²+bx+c) คุณสามารถใช้สูตรกำลังสองเพื่อค้นหา x

   • แม้ว่าคุณไม่จำเป็นต้องรู้วิธีการทำเช่นนี้ แต่คุณสามารถใช้เกณฑ์ Eisenstein เพื่อกำหนดได้อย่างรวดเร็วว่าพหุนามไม่สามารถทำให้เข้าใจง่ายและแยกตัวประกอบได้หรือไม่ เกณฑ์นี้ใช้กับพหุนามใดๆ แต่ใช้ดีที่สุดสำหรับพหุนาม หากมีจำนวนเฉพาะ p ที่หารสองเทอมสุดท้ายเท่าๆ กันและเป็นไปตามเงื่อนไขต่อไปนี้ พหุนามจะไม่สามารถทำให้ง่ายขึ้นได้:

     • ค่าคงที่ (ไม่มีตัวแปร) เป็นทวีคูณของ p แต่ไม่ใช่ทวีคูณของ p².
     • คำนำหน้า (เช่น a ใน ax²+bx+c) ไม่ใช่ผลคูณของ p
     • ตัวอย่างเช่น 14x² +45x +51 ไม่สามารถลดความซับซ้อนได้เนื่องจากมีจำนวนเฉพาะ (3) ที่หารด้วย 45 และ 51 ลงตัว แต่ไม่หารด้วย 14 ลงตัว และ 51 หารด้วย 3 ไม่ลงตัว².

   คำเตือน

   แม้ว่าสิ่งนี้จะเป็นจริงสำหรับไตรนามกำลังสอง แต่ทริโนเมียลที่สามารถแยกตัวประกอบไม่จำเป็นต้องเป็นผลคูณของทวินามสองตัว ตัวอย่างเช่น x⁴ + 105x + 46 = (x² + 5x + 2)(x² - 5x + 23).