ทฤษฎีบทพีทาโกรัสอธิบายความยาวของด้านของสามเหลี่ยมมุมฉากอย่างสง่างามและใช้งานได้จริง ดังนั้นทฤษฎีบทนี้จึงยังคงใช้กันอย่างแพร่หลายในปัจจุบัน ทฤษฎีบทนี้ระบุว่าสำหรับสามเหลี่ยมมุมฉากใดๆ ผลรวมของกำลังสองของด้านที่ไม่มีมุมเท่ากับกำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉาก กล่าวอีกนัยหนึ่ง สำหรับสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีด้านตั้งฉาก a และ b และด้านตรงข้ามมุมฉาก c NS2 + ข2 = ค2.
ทฤษฎีบทพีทาโกรัสเป็นหนึ่งในเสาหลักของเรขาคณิตเบื้องต้น มีแอปพลิเคชันมากมายที่ใช้ทฤษฎีบทนี้ เช่น เพื่อให้ง่ายต่อการค้นหาระยะห่างระหว่างจุดสองจุดบนระนาบพิกัด
ขั้นตอน
วิธีที่ 1 จาก 2: การหาด้านของสามเหลี่ยมมุมฉาก
ขั้นตอนที่ 1 ตรวจสอบให้แน่ใจว่าสามเหลี่ยมของคุณเป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก
ทฤษฎีบทพีทาโกรัสใช้กับสามเหลี่ยมมุมฉากเท่านั้น ดังนั้นก่อนดำเนินการต่อ เป็นสิ่งสำคัญมากที่จะต้องแน่ใจว่าสามเหลี่ยมของคุณสอดคล้องกับคุณสมบัติของสามเหลี่ยมมุมฉาก โชคดีที่มีปัจจัยหนึ่งที่สามารถบ่งชี้ว่าสามเหลี่ยมของคุณเป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก สามเหลี่ยมของคุณควรมีมุม 90 องศาหนึ่งมุม
ในรูปสัญลักษณ์ สามเหลี่ยมมุมฉากมักถูกทำเครื่องหมายด้วยสี่เหลี่ยมเล็กๆ เพื่อทำเครื่องหมายมุม 90 องศา โดยไม่ใช้ "เส้นโค้ง" ที่โค้งมน มองหาเครื่องหมายนี้ตรงมุมสามเหลี่ยมของคุณ
ขั้นตอนที่ 2 ให้ตัวแปร a, b และ c สำหรับด้านข้างของสามเหลี่ยมของคุณ
ในทฤษฎีบทพีทาโกรัส ตัวแปร a และ b แทนด้านที่บรรจบกันที่สามเหลี่ยมมุมฉาก ในขณะที่ตัวแปร c แทนด้านตรงข้ามมุมฉาก - ด้านยาวตรงข้ามมุมฉาก ในการเริ่มต้น ให้ทำเครื่องหมายด้านสั้นของสามเหลี่ยมของคุณด้วยตัวแปร a และ b (ไม่สำคัญว่าคุณจะสลับมันหรือไม่) และทำเครื่องหมายด้านตรงข้ามมุมฉากด้วยตัวแปร c
ขั้นตอนที่ 3 ตัดสินใจว่าคุณต้องการแก้ด้านใดของสามเหลี่ยม
ทฤษฎีบทพีทาโกรัสอนุญาตให้นักคณิตศาสตร์หาความยาวของด้านใดๆ ของสามเหลี่ยมมุมฉากได้ตราบเท่าที่พวกเขารู้ความยาวของอีกสองด้านที่เหลือ กำหนดด้านใดที่ไม่รู้จัก - a, b และ/หรือ c หากไม่ทราบความยาวของด้านใดด้านหนึ่งของคุณ คุณก็พร้อมที่จะก้าวต่อไป
- ตัวอย่างเช่น เรารู้ว่าความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมคือ 5 และความยาวของด้านอื่น ๆ คือ 3 แต่เราไม่แน่ใจความยาวของด้านที่สาม ในกรณีนี้ เรารู้ว่าเรากำลังหาความยาวของด้านที่สาม และเนื่องจากเรารู้ความยาวของอีกสองด้าน เราจึงแก้ได้! เราจะแก้ไขปัญหานี้ด้วยขั้นตอนต่อไปนี้
- ถ้าคุณไม่รู้ความยาวของสองด้าน คุณต้องรู้ด้านใดด้านหนึ่งจึงจะสามารถใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสได้ ฟังก์ชันตรีโกณมิติพื้นฐานสามารถช่วยคุณได้หากคุณรู้ด้านหนึ่งของสามเหลี่ยมที่ไม่เอียง
ขั้นตอนที่ 4 เสียบค่าสองด้านที่คุณทราบแล้วลงในสมการ
แทนความยาวของด้านของสามเหลี่ยมลงในสมการ a2 + ข2 = ค2. จำไว้ว่า a และ b เป็นด้านไม่ลาดเอียง ขณะที่ c คือด้านตรงข้ามมุมฉาก
ในตัวอย่างของเรา เรารู้ความยาวของด้านใดด้านหนึ่งและด้านตรงข้ามมุมฉาก (3 & 5) ดังนั้นสมการจึงกลายเป็น 3² + b² = 5²
ขั้นตอนที่ 5. สแควร์
ในการแก้สมการของคุณ ให้เริ่มโดยการยกกำลังด้านที่ทราบ อีกทางหนึ่ง หากคุณพบว่าวิธีนี้ง่ายกว่า คุณสามารถปล่อยให้ความยาวด้านเป็นกำลังสองแล้วยกกำลังสองในภายหลัง
-
ในตัวอย่างของเรา เราจะยกกำลังสอง 3 และ 5 เราจะได้
ขั้นตอนที่ 9 da
ขั้นตอนที่ 25. เราสามารถเขียนสมการเป็น 9 + b² = 25
ขั้นตอนที่ 6 ย้ายตัวแปรที่ไม่รู้จักไปอีกด้านหนึ่งของสมการ
ถ้าจำเป็น ให้ใช้การดำเนินการเกี่ยวกับพีชคณิตพื้นฐานเพื่อทำให้ตัวแปรที่ไม่รู้จักย้ายไปอีกด้านหนึ่งของสมการและยกกำลังสองของตัวแปรอีกสองตัวไปอีกด้านหนึ่ง หากคุณต้องการหาความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก c อยู่อีกด้านหนึ่งของสมการแล้ว ดังนั้นคุณไม่ต้องทำอะไรเพื่อย้ายมัน
ในตัวอย่างของเรา สมการปัจจุบันคือ 9 + b² = 25 หากต้องการย้าย b² ให้ลบทั้งสองข้างของสมการด้วย 9 ดังนั้นผลลัพธ์จะเป็น b² = 16
ขั้นตอนที่ 7 สแควร์รูทของทั้งสองข้างของสมการ
ตอนนี้ตัวแปรเดียวเท่านั้นที่ถูกยกกำลังสองด้านหนึ่งและตัวเลขอีกด้านหนึ่ง รากที่สองของทั้งสองข้างเพื่อหาความยาวของด้านที่ไม่รู้จัก
-
ในตัวอย่างของเรา b² = 16 การหารากที่สองของทั้งสองข้างจะได้ b = 4 ดังนั้น เราสามารถพูดได้ว่าความยาวของด้านที่ไม่รู้จักของรูปสามเหลี่ยมคือ
ขั้นตอนที่ 4.
ขั้นตอนที่ 8 ใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสเพื่อหาด้านของสามเหลี่ยมมุมฉากที่แท้จริง
เหตุผลที่ใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสอย่างแพร่หลายในปัจจุบันก็คือสามารถประยุกต์ใช้กับสถานการณ์ในทางปฏิบัติได้นับไม่ถ้วน เรียนรู้ที่จะรู้สามเหลี่ยมมุมฉากในชีวิตจริง – ในสถานการณ์ใดๆ ที่วัตถุสองชิ้นหรือเส้นตรงมาบรรจบกับมุมฉาก และวัตถุหรือเส้นที่สามเชื่อมวัตถุสองชิ้นหรือเส้นทแยงมุมเข้าด้วยกัน คุณสามารถใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสเพื่อหาความยาวของด้านได้ อีกด้านหนึ่ง ถ้าทราบความยาวของอีกสองด้าน
-
ลองมาดูตัวอย่างจริงซึ่งยากกว่าเล็กน้อย บันไดพิงกับอาคาร ระยะจากพื้นบันไดถึงผนัง 5 เมตร ความสูงของบันไดถึง 20 เมตร บันไดยาวเท่าไร?
-
จากผนัง 5 เมตร และสูง 20 เมตร บอกเราถึงความยาวของด้านข้างของรูปสามเหลี่ยม เนื่องจากผนังและพื้น (สมมติ) เป็นมุมฉาก และบันไดถูกตั้งแนวทแยงมุมกับผนัง การจัดเรียงนี้ถือได้ว่าเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีความยาวด้าน a = 5 และ b = 20 ความยาวของบันไดคือด้านตรงข้ามมุมฉาก ดังนั้นจึงไม่ทราบค่าของ c ลองใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส:
- a² + b² = c²
- (5)² + (20)² = c²
- 25 + 400 = c²
- 425 = c²
- ราก (425) = c
- ค = 20.6. ความยาวของบันไดโดยประมาณคือ 20.6 เมตร.
-
วิธีที่ 2 จาก 2: การคำนวณระยะห่างระหว่างจุดสองจุดใน XY Plane
ขั้นตอนที่ 1 ค้นหาจุดสองจุดในระนาบ X-Y
ทฤษฎีบทพีทาโกรัสสามารถใช้คำนวณระยะทางเส้นตรงระหว่างจุดสองจุดในระนาบ X-Y ได้อย่างง่ายดาย สิ่งที่คุณต้องรู้คือพิกัด x และ y ของจุดสองจุด โดยปกติ พิกัดเหล่านี้จะเขียนรวมกันในรูปแบบ (x, y)
ในการหาระยะห่างระหว่างจุดสองจุดนี้ เราจะพิจารณาแต่ละจุดเป็นหนึ่งในมุมที่ไม่ใช่มุมฉากของสามเหลี่ยมมุมฉาก การทำเช่นนี้จะทำให้หาความยาวของด้าน a และ b ได้ง่าย จากนั้นคำนวณด้านตรงข้ามมุมฉาก c ซึ่งเป็นระยะห่างระหว่างจุดสองจุด
ขั้นตอนที่ 2 วาดจุดสองจุดของคุณในภาพ
ในระนาบ X-Y ปกติ แต่ละจุด (x, y) x แทนพิกัดแนวนอน และ y แทนพิกัดแนวตั้ง คุณสามารถหาระยะห่างระหว่างจุดทั้งสองได้โดยไม่ต้องวาด แต่การทำเช่นนี้จะทำให้คุณได้ภาพที่คุณสามารถใช้เพื่อดูว่าคำตอบของคุณถูกต้องหรือไม่
ขั้นตอนที่ 3 หาความยาวของด้านที่ไม่ลาดเอียงของสามเหลี่ยม
ใช้จุดสองจุดเป็นมุมของสามเหลี่ยมที่อยู่ติดกับด้านตรงข้ามมุมฉาก หาความยาวของด้าน a และ b ของสามเหลี่ยม คุณสามารถทำได้โดยใช้รูปภาพหรือใช้สูตร |x1 - NS2| สำหรับด้านแนวนอนและ |y1 - y2| สำหรับด้านแนวตั้งด้วย (x1, y1) เป็นจุดแรกและ (x2, y2) เป็นจุดที่สอง
-
ให้จุดสองจุดของเราคือ (6, 1) และ (3, 5) ความยาวของด้านแนวนอนของสามเหลี่ยมของเราคือ:
- |x1 - NS2|
- |3 - 6|
-
| -3 | =
ขั้นตอนที่ 3
-
ความยาวของด้านแนวตั้งคือ:
- |y1 - y2|
- |1 - 5|
-
| -4 | =
ขั้นตอนที่ 4
- ในสามเหลี่ยมมุมฉากของเรา ด้าน a = 3 และด้าน b = 4
ขั้นตอนที่ 4 ใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสเพื่อหาความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก
ระยะห่างระหว่างจุดสองจุดคือความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมที่คุณเพิ่งพบสองด้าน ใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสเพื่อหาด้านตรงข้ามมุมฉาก โดยที่ a คือความยาวของด้านแรกและ b คือความยาวของด้านที่สอง
-
ในตัวอย่างของเรา เราใช้จุด (3, 5) และ (6, 1) ซึ่งมีความยาวด้านเป็น 3 และ 4 ดังนั้นเราจึงสามารถหาด้านตรงข้ามมุมฉากได้ดังนี้:
-
- (3)²+(4)²= c²
- c= รูต (9+16)
- ค= รูท(25)
-
c= 5. ระยะห่างระหว่าง (3, 5) และ (6, 1) is
ขั้นตอนที่ 5.
-
เคล็ดลับ
-
ด้านตรงข้ามมุมฉากเสมอ:
- ตรงข้ามมุมฉาก (โดยไม่สัมผัสมุมขวา)
- ด้านที่ยาวที่สุดในสามเหลี่ยมมุมฉาก
- เรียกว่า ค ในทฤษฎีบทพีทาโกรัส
- root (x) หมายถึง รากที่สองของ x
- อย่าลืมตรวจสอบคำตอบของคุณเสมอ หากคำตอบของคุณดูเหมือนผิด ให้ลองอีกครั้งแล้วลองอีกครั้ง
- ถ้าสามเหลี่ยมนั้นไม่ใช่สามเหลี่ยมมุมฉาก คุณต้องมีข้อมูลเพิ่มเติม ไม่ใช่แค่ความยาวของอีกสองด้านที่เหลือ
- วิธีตรวจสอบอีกวิธีหนึ่ง – ด้านที่ยาวที่สุดอยู่ตรงข้ามกับมุมที่ใหญ่ที่สุด และด้านที่สั้นที่สุดอยู่ตรงข้ามกับมุมที่เล็กที่สุด
- ตัวเลขเป็นกุญแจสำคัญในการเขียนค่าที่ถูกต้องสำหรับ a, b และ c หากคุณกำลังแก้ไขปัญหาเรื่อง ให้แน่ใจว่าได้เขียนปัญหาในรูปแบบภาพก่อน
- ถ้าคุณรู้ความยาวของด้านเดียว ทฤษฎีบทพีทาโกรัสก็ใช้ไม่ได้ ลองใช้ตรีโกณมิติ (sin, cos, tan) หรืออัตราส่วน 30-60-90 / 45-45-90
