วิธีลดความซับซ้อนของสมการทางคณิตศาสตร์: 13 ขั้นตอน

2024 ผู้เขียน: Jason Gerald | [email protected]. แก้ไขล่าสุด: 2024-01-15 08:25

นักศึกษาวิชาคณิตศาสตร์มักถูกขอให้เขียนคำตอบในรูปแบบที่ง่ายที่สุด หรือพูดอีกอย่างก็คือ ให้เขียนคำตอบให้สวยงามที่สุด แม้ว่าสมการที่ยาว แข็ง และสั้น รวมถึงความสง่างาม แต่ในทางเทคนิคก็เป็นสิ่งเดียวกัน แต่บ่อยครั้ง ปัญหาทางคณิตศาสตร์จะไม่ถือว่าสมบูรณ์หากคำตอบสุดท้ายไม่ได้ถูกลดขนาดให้อยู่ในรูปแบบที่ง่ายที่สุด นอกจากนี้ คำตอบในรูปแบบที่ง่ายที่สุดมักจะเป็นสมการที่ง่ายที่สุดในการทำงานด้วย ด้วยเหตุนี้ การเรียนรู้วิธีลดความซับซ้อนของสมการจึงเป็นทักษะที่สำคัญสำหรับนักคณิตศาสตร์

ขั้นตอน

วิธีที่ 1 จาก 2: การใช้ลำดับการดำเนินการ

ขั้นตอนที่ 1 รู้ลำดับการดำเนินงาน

เมื่อลดความซับซ้อนของนิพจน์ทางคณิตศาสตร์ คุณไม่สามารถทำงานจากซ้ายไปขวา คูณ บวก ลบ และอื่นๆ ตามลำดับจากซ้ายไปขวาได้ การดำเนินการทางคณิตศาสตร์บางอย่างต้องมาก่อนการดำเนินการอื่นและต้องทำก่อน อันที่จริง การใช้ลำดับการดำเนินการที่ไม่ถูกต้องอาจทำให้คำตอบที่ผิดได้ ลำดับของการดำเนินการคือ: ส่วนในวงเล็บ เลขชี้กำลัง การคูณ การหาร การบวก และสุดท้าย การลบ ตัวย่อที่คุณสามารถใช้จำได้คือ เพราะแม่ไม่ดี ชั่ว และจน

โปรดทราบว่าแม้ว่าความรู้พื้นฐานเกี่ยวกับลำดับการดำเนินการสามารถทำให้สมการพื้นฐานที่สุดง่ายขึ้นได้ แต่ต้องใช้เทคนิคพิเศษเพื่อทำให้สมการตัวแปรหลายๆ สมการง่ายขึ้น รวมถึงพหุนามเกือบทั้งหมดด้วย ดูวิธีที่สองต่อไปนี้สำหรับข้อมูลเพิ่มเติม

ขั้นตอนที่ 2 เริ่มต้นด้วยการกรอกทุกส่วนในวงเล็บ

ในวิชาคณิตศาสตร์ วงเล็บระบุว่าต้องคำนวณส่วนภายในแยกจากนิพจน์ที่อยู่นอกวงเล็บ ไม่ว่าการดำเนินการใดจะอยู่ในวงเล็บ ตรวจสอบให้แน่ใจว่าได้ทำส่วนในวงเล็บให้ครบถ้วนก่อนเมื่อคุณพยายามทำให้สมการง่ายขึ้น ตัวอย่างเช่น ในวงเล็บ คุณต้องคูณก่อนบวก ลบ และอื่นๆ

• ตัวอย่างเช่น ลองทำให้สมการ 2x + 4(5 + 2) + 3. ง่ายขึ้น² - (3 + 4/2). ในสมการนี้ เราต้องแก้ส่วนที่อยู่ในวงเล็บ คือ 5 + 2 และ 3 + 4/2 ก่อน 5 + 2 =

  ขั้นตอนที่ 7. 3 + 4/2 = 3 + 2

  ขั้นตอนที่ 5

  ส่วนในวงเล็บเหลี่ยมที่สองลดความซับซ้อนเป็น 5 เพราะตามลำดับการดำเนินการ เราแบ่ง 4/2 ก่อนในวงเล็บ ถ้าเราทำงานจากซ้ายไปขวา เราบวก 3 กับ 4 ก่อน แล้วหารด้วย 2 ให้คำตอบที่ผิด 7/2

• หมายเหตุ – หากวงเล็บในวงเล็บมีหลายวงเล็บ ให้กรอกส่วนในวงเล็บในสุด ตามด้วยวงเล็บในสุดที่สอง และอื่นๆ

ขั้นตอนที่ 3 แก้เลขชี้กำลัง

หลังจากจบวงเล็บแล้ว ต่อไป ให้แก้เลขชี้กำลังของสมการของคุณ จำได้ง่ายเพราะเป็นเลขชี้กำลัง เลขฐานและกำลังยกกำลังอยู่ติดกัน หาคำตอบของแต่ละส่วนของเลขชี้กำลัง จากนั้นแทนคำตอบของคุณในสมการเพื่อแทนที่ส่วนเลขชี้กำลัง

หลังจากเสร็จสิ้นส่วนในวงเล็บ ตอนนี้สมการตัวอย่างของเราจะกลายเป็น 2x + 4(7) + 3² - 5. เลขชี้กำลังเดียวในตัวอย่างของเราคือ 3²ซึ่งเท่ากับ 9 เพิ่มผลลัพธ์นี้ในสมการของคุณเพื่อแทนที่ 3² ส่งผลให้ 2x + 4(7) + 9 - 5.

ขั้นตอนที่ 4 แก้ปัญหาการคูณในสมการของคุณ

ต่อไป ทำการคูณตามที่จำเป็นในสมการของคุณ จำไว้ว่าการคูณสามารถเขียนได้หลายวิธี เครื่องหมาย × จุดหรือเครื่องหมายดอกจันเป็นวิธีแสดงการคูณ อย่างไรก็ตาม ตัวเลขที่อยู่ถัดจากวงเล็บหรือตัวแปร (เช่น 4(x)) ก็แสดงถึงการคูณเช่นกัน

• การคูณในปัญหาของเรามีสองส่วน: 2x (2x คือ 2 × x) และ 4(7) เราไม่รู้ค่าของ x เราเลยปล่อยมันไว้ที่ 2x 4(7) = 4 × 7 =

  ขั้นตอนที่ 28. เราสามารถเขียนสมการใหม่เป็น 2x + 28 + 9 - 5 ได้

ขั้นตอนที่ 5. ดำเนินการในส่วน

เมื่อคุณมองหาปัญหาการหารในสมการของคุณ จำไว้ว่า เช่นเดียวกับการคูณ การหารสามารถเขียนได้หลายวิธี หนึ่งในนั้นคือสัญลักษณ์ แต่โปรดจำไว้ว่าเครื่องหมายทับและขีดกลาง เช่น เศษส่วน (เช่น 3/4) ยังหมายถึงการหารด้วย

เนื่องจากเราได้ทำการแบ่งส่วนแล้ว (4/2) เมื่อเราทำชิ้นส่วนในวงเล็บเสร็จแล้ว ตัวอย่างของเราไม่มีปัญหาเรื่องการหาร ดังนั้นเราจะข้ามขั้นตอนนี้ไป นี่แสดงให้เห็นจุดสำคัญ – คุณไม่จำเป็นต้องดำเนินการทั้งหมดเมื่อทำให้นิพจน์ง่ายขึ้น เฉพาะการดำเนินการที่มีอยู่ในปัญหาของคุณเท่านั้น

ขั้นตอนที่ 6 ถัดไป เพิ่มสิ่งที่อยู่ในสมการของคุณ

คุณสามารถทำงานจากซ้ายไปขวาได้ แต่จะง่ายกว่าในการเพิ่มตัวเลขที่ง่ายต่อการเพิ่มก่อน ตัวอย่างเช่น ในปัญหา 49 + 29 + 51 + 71 ง่ายกว่าที่จะบวก 49 + 51 = 100, 29 + 71 = 100 และ 100 + 100 = 200 มากกว่า 49 + 29 = 78, 78 + 51 = 129 และ 129 + 71 = 200

สมการตัวอย่างของเราถูกทำให้ง่ายขึ้นบางส่วนเป็น 2x + 28 + 9 – 5 ตอนนี้ เราต้องบวกตัวเลขที่เราบวกได้ – ลองดูปัญหาการบวกแต่ละข้อจากซ้ายไปขวา เราไม่สามารถบวก 2x กับ 28 เพราะเราไม่รู้ค่าของ x ดังนั้นเราจะข้ามมันไป 28 + 9 = 37 สามารถเขียนใหม่เป็น 2x + 37 - 5

ขั้นตอนที่ 7 ขั้นตอนสุดท้ายของลำดับการดำเนินการคือการลบ

ดำเนินการต่อปัญหาของคุณโดยการแก้ปัญหาการลบที่เหลืออยู่ คุณอาจคิดว่าการลบเป็นการบวกจำนวนลบในขั้นตอนนี้ หรือใช้ขั้นตอนเดียวกับปัญหาการบวกปกติ ตัวเลือกของคุณจะไม่ส่งผลต่อคำตอบของคุณ

• ในปัญหาของเรา 2x + 37 - 5 มีปัญหาการลบเพียงปัญหาเดียว 37 – 5 =

  ขั้นตอนที่ 32

ขั้นตอนที่ 8 ตรวจสอบสมการของคุณ

หลังจากแก้โดยใช้ลำดับของการดำเนินการแล้ว สมการของคุณควรลดรูปให้อยู่ในรูปแบบที่ง่ายที่สุด อย่างไรก็ตาม หากสมการของคุณมีตัวแปรตั้งแต่หนึ่งตัวขึ้นไป ให้เข้าใจว่าตัวแปรของคุณไม่จำเป็นต้องดำเนินการ ในการทำให้ตัวแปรง่ายขึ้น คุณต้องค้นหาค่าของตัวแปรหรือใช้เทคนิคพิเศษเพื่อทำให้นิพจน์ง่ายขึ้น (ดูขั้นตอนด้านล่าง)

คำตอบสุดท้ายของเราคือ 2x + 32 เราไม่สามารถแก้การบวกสุดท้ายนี้ได้ เว้นแต่เราจะรู้ค่าของ x แต่ถ้าเรารู้ค่าของมัน สมการนี้จะแก้ได้ง่ายกว่าสมการเดิมแบบยาวมาก

วิธีที่ 2 จาก 2: การลดความซับซ้อนของสมการเชิงซ้อน

ขั้นตอนที่ 1 เพิ่มส่วนที่มีตัวแปรเหมือนกัน

เมื่อแก้สมการตัวแปร จำไว้ว่าส่วนที่มีตัวแปรและเลขชี้กำลังเหมือนกัน (หรือตัวแปรเดียวกัน) สามารถเพิ่มและลบได้เหมือนตัวเลขปกติ ส่วนนี้ต้องมีตัวแปรและเลขชี้กำลังเหมือนกัน ตัวอย่างเช่น เพิ่ม 7x และ 5x ได้ แต่ 7x และ 5x² ไม่สามารถเพิ่มได้

• กฎนี้ใช้กับตัวแปรบางตัวด้วย ตัวอย่างเช่น 2xy² สามารถสรุปได้ด้วย -3xy²แต่ไม่สามารถบวกด้วย -3x²y หรือ -3y².
• ดูสมการ x² + 3x + 6 - 8x ในสมการนี้ เราบวก 3x และ -8x ได้เพราะมีตัวแปรและเลขชี้กำลังเหมือนกัน สมการอย่างง่ายกลายเป็น x² - 5x + 6.

ขั้นตอนที่ 2 ลดความซับซ้อนของตัวเลขเศษส่วนด้วยการหารหรือขีดฆ่าตัวประกอบ

เศษส่วนที่มีเฉพาะตัวเลข (และไม่มีตัวแปร) ในตัวเศษและตัวส่วนสามารถทำให้ง่ายขึ้นได้หลายวิธี อย่างแรก และอาจง่ายที่สุด คือการคิดว่าเศษส่วนเป็นปัญหาการหารแล้วหารตัวส่วนด้วยตัวเศษ นอกจากนี้ ตัวประกอบการคูณใดๆ ที่ปรากฏในตัวเศษและตัวส่วนสามารถขีดฆ่าได้เนื่องจากการหารตัวประกอบทั้งสองจะส่งผลให้ได้เลข 1

ตัวอย่างเช่น ดูเศษส่วน 36/60 ถ้าเรามีเครื่องคิดเลข เราก็หารให้ได้คำตอบ 0, 6. อย่างไรก็ตาม หากเราไม่มีเครื่องคิดเลข เราก็ยังสามารถทำให้มันง่ายขึ้นได้ด้วยการขีดฆ่าตัวประกอบเดียวกัน อีกวิธีในการจินตนาการ 36/60 คือ (6 × 6)/(6 × 10) เศษส่วนนี้สามารถเขียนได้เป็น 6/6 × 6/10 6/6 = 1, เศษส่วนของเราคือ 1 × 6/10 = 6/10. แต่เรายังไม่เสร็จ – ทั้ง 6 และ 10 มีปัจจัยเดียวกันคือ 2 เมื่อทำซ้ำวิธีการข้างต้นผลลัพธ์จะกลายเป็น 3/5.

ขั้นตอนที่ 3 บนเศษส่วนตัวแปร ให้ขีดฆ่าตัวประกอบทั้งหมดของตัวแปร

สมการตัวแปรในรูปเศษส่วนมีวิธีลดรูปเฉพาะตัว เช่นเดียวกับเศษส่วนธรรมดา เศษส่วนแปรผันช่วยให้คุณสามารถกำจัดตัวประกอบที่ทั้งตัวเศษและตัวส่วนมีเหมือนกัน อย่างไรก็ตาม ในเศษส่วนตัวแปร ปัจจัยเหล่านี้อาจเป็นตัวเลขและสมการของตัวแปรจริงก็ได้

• สมมติสมการ (3x² + 3x)/(-3x² + 15x) เศษส่วนนี้สามารถเขียนเป็น (x + 1)(3x)/(3x)(5 - x), 3x ปรากฏในทั้งตัวเศษและตัวส่วน โดยการข้ามปัจจัยเหล่านี้ออกจากสมการ ผลลัพธ์จะกลายเป็น (x + 1)/(5 - x) เช่นเดียวกับในนิพจน์ (2x² + 4x + 6)/2 เนื่องจากแต่ละส่วนหารด้วย 2 ลงตัว เราจึงเขียนสมการได้เป็น (2(x.)² + 2x + 3))/2 แล้วลดรูปเป็น x² + 2x + 3.
• โปรดทราบว่าคุณไม่สามารถขีดฆ่าทุกส่วนได้ – คุณสามารถขีดฆ่าตัวประกอบการคูณที่ปรากฏในตัวเศษและตัวส่วนได้เท่านั้น ตัวอย่างเช่น ในนิพจน์ (x(x + 2))/x สามารถขีดฆ่า x ออกจากทั้งตัวเศษและตัวส่วน เพื่อให้กลายเป็น (x + 2)/1 = (x + 2) อย่างไรก็ตาม (x + 2)/x ไม่สามารถขีดฆ่าได้ถึง 2/1 = 2

ขั้นตอนที่ 4 คูณส่วนในวงเล็บด้วยค่าคงที่

เมื่อคูณส่วนที่มีตัวแปรในวงเล็บด้วยค่าคงที่ บางครั้งการคูณแต่ละส่วนในวงเล็บด้วยค่าคงที่อาจส่งผลให้ได้สมการที่ง่ายกว่า สิ่งนี้ใช้กับค่าคงที่ที่ประกอบด้วยตัวเลขและค่าคงที่ที่มีตัวแปรเท่านั้น

• ตัวอย่างเช่น สมการ 3(x² + 8) สามารถลดความซับซ้อนเป็น 3x² + 24 ในขณะที่ 3x(x² + 8) สามารถลดความซับซ้อนเป็น 3x³ + 24x.
• โปรดทราบว่า ในบางกรณี เช่น เศษส่วนแปรผัน ค่าคงที่รอบวงเล็บสามารถขีดฆ่าได้ จะได้ไม่ต้องคูณด้วยส่วนในวงเล็บ เป็นเศษส่วน (3(x² + 8))/3x ตัวอย่างเช่น ตัวประกอบ 3 ปรากฏในทั้งตัวเศษและตัวส่วน เพื่อให้เราสามารถขีดฆ่ามันและทำให้นิพจน์ง่ายขึ้นเป็น (x² +8)/x. นิพจน์นี้ง่ายกว่าและใช้งานได้ง่ายกว่า (3x³ + 24x)/3x ซึ่งเป็นผลลัพธ์ที่เราจะได้รับหากเราคูณมัน

ขั้นตอนที่ 5. ลดความซับซ้อนโดยแฟคตอริ่ง

การแยกตัวประกอบเป็นเทคนิคที่สามารถใช้เพื่อลดความซับซ้อนของนิพจน์ตัวแปรบางตัว ซึ่งรวมถึงพหุนาม คิดว่าการแยกตัวประกอบเป็นสิ่งที่ตรงกันข้ามกับการคูณด้วยส่วนในวงเล็บในขั้นตอนด้านบน - บางครั้ง นิพจน์อาจมองว่าเป็นการคูณสองส่วนเข้าด้วยกัน แทนที่จะเป็นนิพจน์ที่รวมกันเป็นหนึ่ง โดยเฉพาะอย่างยิ่งถ้าการแยกตัวประกอบสมการทำให้คุณสามารถขีดฆ่าส่วนใดส่วนหนึ่งของมันออกได้ (เช่นเดียวกับเศษส่วน) ในบางกรณี (มักใช้สมการกำลังสอง) การแยกตัวประกอบอาจช่วยให้คุณหาคำตอบของสมการได้

• ให้เราสมมตินิพจน์ x. อีกครั้ง² - 5x + 6 นิพจน์นี้สามารถแยกตัวประกอบเป็น (x - 3)(x - 2) ดังนั้น ถ้า x² - 5x + 6 เป็นตัวเศษของสมการที่กำหนด โดยที่ตัวส่วนมีหนึ่งในปัจจัยเหล่านี้ เช่นเดียวกับในนิพจน์ (x² - 5x + 6)/(2(x - 2)) เราอาจต้องเขียนมันในรูปตัวประกอบ เพื่อเราจะได้ตัดปัจจัยนั้นออกด้วยตัวส่วน กล่าวอีกนัยหนึ่ง ใน (x - 3)(x - 2)/(2(x - 2)) ส่วน (x - 2) สามารถขีดฆ่าเป็น (x - 3)/2 ได้

• ดังที่ได้กล่าวไว้ข้างต้น อีกเหตุผลหนึ่งที่คุณอาจต้องการแยกตัวประกอบสมการของคุณก็คือการแยกตัวประกอบสามารถให้คำตอบของสมการบางสมการได้ โดยเฉพาะอย่างยิ่งถ้าเขียนว่าเท่ากับ 0 ตัวอย่างเช่น สมการ x² - 5x + 6 = 0 แฟคตอริ่งให้ (x - 3)(x - 2) = 0 เนื่องจากจำนวนใดๆ ที่คูณด้วยศูนย์เท่ากับศูนย์ เรารู้ว่าถ้าส่วนใดส่วนหนึ่งของวงเล็บเท่ากับศูนย์ สมการทั้งหมดอยู่ทางซ้ายของ เครื่องหมายเท่ากับยังเป็นศูนย์ ดังนั้น

  ขั้นตอนที่ 3 ดา

  ขั้นตอนที่ 2. คือคำตอบของสมการทั้งสอง