วิธีค้นหาโดเมนและช่วงของฟังก์ชัน: 14 ขั้นตอน (พร้อมรูปภาพ)

2024 ผู้เขียน: Jason Gerald | [email protected]. แก้ไขล่าสุด: 2023-12-16 11:42

แต่ละฟังก์ชันมีสองตัวแปร ได้แก่ ตัวแปรอิสระและตัวแปรตาม แท้จริงแล้วค่าของตัวแปรตาม "ขึ้นอยู่กับ" ตัวแปรอิสระ ตัวอย่างเช่น ในฟังก์ชัน y = f(x) = 2 x + y x คือตัวแปรอิสระและ y คือตัวแปรตาม (กล่าวอีกนัยหนึ่ง y คือฟังก์ชันของ x) ค่าที่ถูกต้องสำหรับตัวแปรที่รู้จัก x เรียกว่า "โดเมนต้นกำเนิด" ค่าที่ถูกต้องสำหรับตัวแปร y ที่รู้จักเรียกว่า "ช่วงผลลัพธ์"

ขั้นตอน

ส่วนที่ 1 จาก 3: การค้นหาโดเมนของฟังก์ชัน

ขั้นตอนที่ 1 ตัดสินใจเลือกประเภทของฟังก์ชันที่คุณจะดำเนินการ

โดเมนของฟังก์ชันคือค่า x ทั้งหมด (แกนนอน) ที่จะคืนค่า y ที่ถูกต้อง สมการของฟังก์ชันอาจเป็นกำลังสอง เศษส่วน หรือมีรากก็ได้ ในการคำนวณโดเมนของฟังก์ชัน สิ่งแรกที่คุณต้องทำคือตรวจสอบตัวแปรในสมการ

• ฟังก์ชันกำลังสองมีรูปแบบ ax² + bx + c: f(x) = 2x² + 3x + 4
• ตัวอย่างของฟังก์ชันที่มีเศษส่วน ได้แก่ f(x) = (¹/_NS), f(x) = ^(x+1)/_{(x - 1)}, และคนอื่น ๆ.
• ฟังก์ชันที่มีรากได้แก่: f(x) = x, f(x) = (x² + 1), f(x) = -x เป็นต้น

ขั้นตอนที่ 2 จดโดเมนด้วยสัญกรณ์ที่เหมาะสม

การเขียนโดเมนของฟังก์ชันเกี่ยวข้องกับการใช้วงเล็บเหลี่ยม [,] เช่นเดียวกับวงเล็บ (,) ใช้วงเล็บเหลี่ยม [,] หากหมายเลขนั้นเป็นของโดเมนและใช้วงเล็บเหลี่ยม (,) หากโดเมนไม่มีตัวเลข ตัวอักษร U หมายถึงสหภาพที่เชื่อมต่อส่วนต่างๆ ของโดเมนที่อาจแยกจากกันตามระยะทาง

• ตัวอย่างเช่น โดเมนของ [-2, 10) U (10, 2] รวมถึง -2 และ 2 แต่ไม่รวมหมายเลข 10
• ใช้วงเล็บ () เสมอ หากคุณใช้สัญลักษณ์อินฟินิตี้.

ขั้นตอนที่ 3 วาดกราฟของสมการกำลังสอง

สมการกำลังสองสร้างกราฟพาราโบลาที่เปิดขึ้นหรือลง เมื่อพิจารณาว่าพาราโบลาจะยังคงอยู่ในระยะอนันต์บนแกน x โดเมนของสมการกำลังสองส่วนใหญ่เป็นจำนวนจริงทั้งหมด อีกวิธีหนึ่ง สมการกำลังสองรวมค่า x ทั้งหมดบนเส้นจำนวน ให้โดเมน NS (สัญลักษณ์ของจำนวนจริงทั้งหมด)

• ในการแก้ฟังก์ชัน ให้เลือกค่า x แล้วป้อนลงในฟังก์ชัน การแก้ฟังก์ชันด้วยค่า x จะส่งกลับค่า y ค่าของ x และ y คือพิกัด (x, y) ของกราฟของฟังก์ชัน
• พล็อตพิกัดเหล่านี้บนกราฟและทำซ้ำขั้นตอนด้วยค่า x อื่น
• การพล็อตค่าบางส่วนในแบบจำลองนี้จะทำให้คุณเห็นภาพรวมของรูปร่างของฟังก์ชันกำลังสอง

ขั้นตอนที่ 4 หากสมการของฟังก์ชันเป็นเศษส่วน ให้ตัวส่วนเท่ากับศูนย์

เมื่อทำงานกับเศษส่วน คุณไม่สามารถหารด้วยศูนย์ได้ โดยทำให้ตัวส่วนเท่ากับศูนย์และหาค่าของ x คุณสามารถคำนวณค่าที่จะแยกจากฟังก์ชันได้

• ตัวอย่างเช่น กำหนดโดเมนของฟังก์ชัน f(x) = ^(x+1)/_{(x - 1)}.
• ตัวส่วนของฟังก์ชันคือ (x - 1)
• ทำให้ตัวส่วนเท่ากับศูนย์และคำนวณค่าของ x: x – 1 = 0, x = 1
• จดโดเมน: โดเมนของฟังก์ชันไม่รวม 1 แต่รวมจำนวนจริงทั้งหมดยกเว้น 1 ดังนั้น โดเมนคือ (-∞, 1) U(1,)
• (-∞, 1) U (1,) สามารถอ่านเป็นชุดของจำนวนจริงทั้งหมดได้ ยกเว้น 1 สัญลักษณ์สำหรับอินฟินิตี้, แสดงถึงจำนวนจริงทั้งหมด ในกรณีนี้ จำนวนจริงทั้งหมดที่มากกว่า 1 และน้อยกว่า 1 จะรวมอยู่ในโดเมน

ขั้นตอนที่ 5 หากสมการเป็นฟังก์ชันรูท ให้กำหนดตัวแปรรูทให้มากกว่าหรือเท่ากับศูนย์

คุณไม่สามารถใช้รากที่สองของจำนวนลบได้ ดังนั้น ค่า x ใดๆ ที่นำไปสู่จำนวนลบจะต้องถูกลบออกจากโดเมนของฟังก์ชัน

• ตัวอย่างเช่น ค้นหาโดเมนของฟังก์ชัน f(x) = (x + 3)
• ตัวแปรในรูทคือ (x + 3)
• ทำให้ค่ามากกว่าหรือเท่ากับศูนย์: (x + 3) 0
• คำนวณค่าสำหรับ x: x -3 แก้หา x: x -3
• โดเมนของฟังก์ชันประกอบด้วยจำนวนจริงทั้งหมดที่มากกว่าหรือเท่ากับ -3 ดังนั้น โดเมนคือ [-3,)

ส่วนที่ 2 ของ 3: การหาช่วงของสมการกำลังสอง

ขั้นตอนที่ 1 ตรวจสอบให้แน่ใจว่าคุณมีฟังก์ชันกำลังสอง

ฟังก์ชันกำลังสองมีรูปแบบ ax² + bx + c: f(x) = 2x² + 3x + 4 กราฟของฟังก์ชันกำลังสองคือพาราโบลาที่เปิดขึ้นหรือลง มีหลายวิธีในการคำนวณช่วงของฟังก์ชันขึ้นอยู่กับประเภทของฟังก์ชันที่คุณกำลังทำงานอยู่

วิธีที่ง่ายที่สุดในการกำหนดช่วงของฟังก์ชันอื่นๆ เช่น ฟังก์ชันรูทหรือฟังก์ชันเศษส่วน คือการสร้างกราฟฟังก์ชันโดยใช้เครื่องคำนวณกราฟ

ขั้นตอนที่ 2 ค้นหาค่า x ของจุดยอดของฟังก์ชัน

จุดยอดของฟังก์ชันกำลังสองคือจุดยอดของพาราโบลา โปรดจำไว้ว่า รูปแบบของฟังก์ชันกำลังสองคือ ax² + bx + ค. ในการหาพิกัด x ให้ใช้สมการ x = -b/2a สมการนี้เป็นอนุพันธ์ของฟังก์ชันกำลังสองพื้นฐานที่แสดงสมการที่มีความชัน/ความชันเป็นศูนย์ (ที่จุดยอดของกราฟ ความชันของฟังก์ชันจะเป็นศูนย์)

• ตัวอย่างเช่น ค้นหาช่วงของ 3x² + 6x -2
• คำนวณพิกัด x ของจุดยอด: x = -b/2a = -6/(2*3) = -1

ขั้นตอนที่ 3 คำนวณค่า y ของจุดยอดของฟังก์ชัน

เสียบพิกัด x ลงในฟังก์ชันเพื่อคำนวณค่า y ที่สอดคล้องกันของจุดยอด ค่า y นี้ระบุขีดจำกัดของช่วงของฟังก์ชัน

• คำนวณพิกัด y: y = 3x² + 6x – 2 = 3(-1)² + 6(-1) -2 = -5.
• จุดยอดของฟังก์ชันนี้คือ (-1, -5)

ขั้นตอนที่ 4 กำหนดทิศทางของพาราโบลาโดยเสียบค่า x อย่างน้อยหนึ่งค่า

เลือกค่า x อื่นๆ แล้วเสียบเข้ากับฟังก์ชันเพื่อคำนวณค่า y ที่เหมาะสม ถ้าค่า y อยู่เหนือจุดยอด พาราโบลาจะยังคงอยู่ที่ +∞ ถ้าค่า y อยู่ต่ำกว่าจุดยอด พาราโบลาจะยังคงอยู่ที่ -∞

• ใช้ค่า x -2: y = 3x² + 6x – 2 = y = 3(-2)² + 6(-2) – 2 = 12 -12 -2 = -2.
• การคำนวณนี้ส่งคืนพิกัด (-2, -2)
• พิกัดเหล่านี้แสดงว่าพาราโบลายังคงอยู่เหนือจุดยอด (-1, -5); ดังนั้นช่วงนี้จึงรวมค่า y ทั้งหมดที่สูงกว่า -5
• ช่วงของฟังก์ชันนี้คือ [-5,)

ขั้นตอนที่ 5. เขียนช่วงด้วยสัญกรณ์ที่เหมาะสม

เช่นเดียวกับโดเมน ช่วงจะถูกเขียนด้วยสัญกรณ์เดียวกัน ใช้วงเล็บเหลี่ยม [,] หากตัวเลขอยู่ในช่วงและใช้วงเล็บเหลี่ยม (,) หากช่วงนั้นไม่มีตัวเลข ตัวอักษร U หมายถึงสหภาพที่เชื่อมต่อส่วนต่างๆ ของช่วงที่อาจแยกจากกันด้วยระยะทาง

• ตัวอย่างเช่น ช่วงของ [-2, 10) U (10, 2] รวมถึง -2 และ 2 แต่ไม่รวมตัวเลข 10
• ใช้วงเล็บเสมอหากคุณใช้สัญลักษณ์อินฟินิตี้.

ส่วนที่ 3 ของ 3: การหาช่วงจากกราฟของฟังก์ชัน

ขั้นตอนที่ 1. วาดฟังก์ชัน

บ่อยครั้ง วิธีที่ง่ายที่สุดในการกำหนดช่วงของฟังก์ชันคือการสร้างกราฟ ฟังก์ชันรากจำนวนมากมีช่วง (-∞, 0] หรือ [0, +∞) เนื่องจากจุดยอดของพาราโบลาแนวนอน (พาราโบลาด้านข้าง) อยู่บนแกน x แนวนอน ในกรณีนี้ ฟังก์ชันจะรวมค่า y บวกทั้งหมด หากพาราโบลาเปิดขึ้น หรือค่า y เชิงลบทั้งหมดหากพาราโบลาเปิดลง ฟังก์ชันเศษส่วนจะมีเส้นกำกับ (เส้นที่ไม่เคยตัดด้วยเส้นตรง/เส้นโค้งแต่เข้าใกล้อนันต์) ที่กำหนดช่วงของฟังก์ชัน

• ฟังก์ชันรูทบางอย่างจะเริ่มต้นที่ด้านบนหรือด้านล่างแกน x ในกรณีนี้ ช่วงจะถูกกำหนดโดยจำนวนที่ฟังก์ชันรูทเริ่มทำงาน ถ้าพาราโบลาเริ่มต้นที่ y = -4 และขึ้นไป พิสัยจะเป็น [-4, +∞)
• วิธีที่ง่ายที่สุดในการวาดฟังก์ชันคือการใช้โปรแกรมสร้างกราฟหรือเครื่องคำนวณกราฟ
• หากคุณไม่มีเครื่องคำนวณกราฟ คุณสามารถวาดภาพร่างคร่าวๆ ของกราฟได้โดยการแทนค่า x ลงในฟังก์ชันและรับค่า y ที่เหมาะสม พล็อตพิกัดเหล่านี้บนกราฟเพื่อให้ทราบว่ากราฟมีลักษณะอย่างไร

ขั้นตอนที่ 2 ค้นหาค่าต่ำสุดของฟังก์ชัน

ทันทีหลังจากวาดฟังก์ชัน คุณจะเห็นจุดต่ำสุดของกราฟได้อย่างชัดเจน หากไม่มีค่าต่ำสุดที่ชัดเจน โปรดทราบว่าบางฟังก์ชันจะดำเนินต่อไปที่ -∞ (อนันต์)

ฟังก์ชันเศษส่วนจะรวมจุดทั้งหมดยกเว้นจุดบนเส้นกำกับ ฟังก์ชันมีช่วงเช่น (-∞, 6) U (6,)

ขั้นตอนที่ 3 กำหนดค่าสูงสุดของฟังก์ชัน

อีกครั้ง หลังจากวาดกราฟ คุณควรจะสามารถระบุจุดสูงสุดของฟังก์ชันได้ ฟังก์ชันบางอย่างจะดำเนินต่อไปที่ +∞ ดังนั้นจึงไม่มีค่าต่ำสุด

ขั้นตอนที่ 4 เขียนช่วงด้วยสัญกรณ์ที่เหมาะสม

เช่นเดียวกับโดเมน ช่วงจะถูกเขียนด้วยสัญกรณ์เดียวกัน ใช้วงเล็บเหลี่ยม [,] หากตัวเลขอยู่ในช่วงและใช้วงเล็บเหลี่ยม (,) หากช่วงนั้นไม่มีตัวเลข ตัวอักษร U หมายถึงสหภาพที่เชื่อมต่อส่วนต่างๆ ของช่วงที่อาจแยกจากกันด้วยระยะทาง

• ตัวอย่างเช่น ช่วงของ [-2, 10) U (10, 2] รวมถึง -2 และ 2 แต่ไม่รวมตัวเลข 10
• ใช้วงเล็บเสมอหากคุณใช้สัญลักษณ์อินฟินิตี้.