ใน "ระบบสมการ" คุณจะถูกขอให้แก้สมการตั้งแต่สองสมการขึ้นไปพร้อมกัน เมื่อสมการทั้งสองมีตัวแปรต่างกันสองตัว เช่น x และ y คำตอบอาจดูเหมือนยากในตอนแรก โชคดีที่เมื่อคุณรู้ว่าต้องทำอะไร คุณสามารถใช้ทักษะพีชคณิต (และศาสตร์แห่งการคำนวณเศษส่วน) เพื่อแก้ปัญหาได้ เรียนรู้วิธีวาดสมการทั้งสองนี้ด้วย หากคุณเป็นผู้เรียนที่มองเห็นได้ หรือเป็นที่ต้องการของครู ภาพวาดจะช่วยคุณระบุหัวข้อหรือตรวจสอบผลงานของคุณ อย่างไรก็ตาม วิธีนี้ช้ากว่าวิธีอื่น และไม่สามารถใช้กับระบบสมการทั้งหมดได้
ขั้นตอน
วิธีที่ 1 จาก 3: การใช้วิธีการทดแทน
ขั้นตอนที่ 1 ย้ายตัวแปรไปฝั่งตรงข้ามของสมการ
วิธีการแทนที่เริ่มต้นด้วย "การหาค่าของ x" (หรือตัวแปรอื่น ๆ) ในสมการใดสมการหนึ่ง ตัวอย่างเช่น สมมติของปัญหาคือ 4x + 2y = 8 และ 5x + 3y = 9. เริ่มต้นด้วยการทำสมการแรก จัดเรียงสมการใหม่โดยลบ 2y ทั้งสองข้าง ดังนั้นคุณจะได้รับ 4x = 8 - 2y.
วิธีนี้มักใช้เศษส่วนในตอนท้าย หากคุณไม่ชอบการนับเศษส่วน ให้ลองใช้วิธีการกำจัดด้านล่าง
ขั้นตอนที่ 2 หารทั้งสองข้างของสมการเพื่อ "หาค่าของ x"
เมื่อพจน์ x (หรือตัวแปรใดก็ตามที่คุณใช้) อยู่ด้านเดียวของสมการ ให้หารทั้งสองข้างของสมการด้วยสัมประสิทธิ์เพื่อให้เหลือเพียงตัวแปรเท่านั้น ตัวอย่างเช่น:
- 4x = 8 - 2y
- (4x)/4 = (8/4) - (2y/4)
- x = 2 - y
ขั้นตอนที่ 3 แทนค่า x จากสมการแรกลงในสมการที่สอง
ตรวจสอบให้แน่ใจว่าคุณใส่มันเข้าไปในสมการที่สอง แทนที่จะเป็นสมการที่คุณเพิ่งทำ แทนที่ (แทนที่) ตัวแปร x ในสมการที่สอง ดังนั้น สมการที่สองจึงมีตัวแปรเพียงตัวเดียว ตัวอย่างเช่น:
- เป็นที่รู้จัก x = 2 - y.
- สมการที่สองของคุณคือ 5x + 3y = 9.
- หลังจากสลับตัวแปร x ในสมการที่สองด้วยค่า x จากสมการแรก เราจะได้ "2 - y": 5(2 - y) + 3y = 9.
ขั้นตอนที่ 4 แก้ตัวแปรที่เหลือ
ตอนนี้ สมการของคุณมีตัวแปรเพียงตัวเดียว คำนวณสมการด้วยการดำเนินการพีชคณิตธรรมดาเพื่อหาค่าของตัวแปร หากตัวแปรทั้งสองตัดกัน ให้ข้ามไปยังขั้นตอนสุดท้ายโดยตรง มิฉะนั้น คุณจะได้รับค่าสำหรับตัวแปรตัวใดตัวหนึ่ง:
- 5(2 - y) + 3y = 9
- 10 – (5/2)y + 3y = 9
- 10 – (5/2)y + (6/2)y = 9 (หากคุณไม่เข้าใจขั้นตอนนี้ เรียนรู้วิธีบวกเศษส่วน)
- 10 + y = 9
- y = -1
- y = -2
ขั้นตอนที่ 5. ใช้คำตอบที่ได้รับเพื่อค้นหาค่าที่แท้จริงของ x ในสมการแรก
อย่าเพิ่งหยุดเพียงเพราะการคำนวณของคุณยังไม่เสร็จสิ้น คุณต้องเสียบคำตอบที่ได้รับลงในสมการแรกเพื่อค้นหาค่าของตัวแปรที่เหลือ:
- เป็นที่รู้จัก y = -2
- สมการหนึ่งในสมการแรกคือ 4x + 2y = 8. (คุณสามารถใช้อย่างใดอย่างหนึ่ง.)
- แทนที่ตัวแปร y ด้วย -2: 4x + 2(-2) = 8.
- 4x - 4 = 8
- 4x = 12
- x = 3
ขั้นที่ 6. รู้ว่าต้องทำอย่างไรหากตัวแปรทั้งสองหักล้างกัน
เมื่อคุณป้อน x=3y+2 หรือคำตอบที่คล้ายกันในสมการที่สอง หมายความว่าคุณกำลังพยายามหาสมการที่มีตัวแปรเพียงตัวเดียว บางครั้งคุณก็แค่ได้สมการ ปราศจาก ตัวแปร. ตรวจสอบงานของคุณอีกครั้ง และตรวจสอบให้แน่ใจว่าคุณได้ใส่ (เรียงลำดับใหม่) สมการที่หนึ่งลงในสมการที่สอง แทนที่จะกลับไปที่สมการแรก เมื่อคุณแน่ใจว่าไม่ได้ทำอะไรผิด ให้เขียนหนึ่งในผลลัพธ์ต่อไปนี้:
- ถ้าสมการไม่มีตัวแปรและไม่เป็นจริง (เช่น 3 = 5) ปัญหานี้ ไม่มีคำตอบ. (เมื่อสร้างกราฟ สมการทั้งสองนี้จะขนานกันและไม่บรรจบกัน)
- ถ้าสมการไม่มีตัวแปรและ ถูกต้อง, (เช่น 3 = 3) หมายความว่าคำถามมี ไม่จำกัดคำตอบ. สมการที่หนึ่งเหมือนกับสมการที่สองทุกประการ (เมื่อวาดกราฟแล้ว สมการทั้งสองนี้จะเป็นเส้นเดียวกัน)
วิธีที่ 2 จาก 3: การใช้วิธีการกำจัด
ขั้นตอนที่ 1 ค้นหาตัวแปรที่ไม่เกิดร่วมกัน
บางครั้งสมการในโจทย์ก็มีอยู่แล้ว เลิกกัน เมื่อรวมกันแล้ว ตัวอย่างเช่น ถ้าคุณทำสมการ 3x + 2y = 11 และ 5x - 2y = 13 คำว่า "+2y" และ "-2y" จะตัดกันและลบตัวแปร "y" ออกจากสมการ ดูสมการในโจทย์แล้วดูว่ามีตัวแปรที่ตัดกันหรือไม่ ดังตัวอย่าง ถ้าไม่ ให้ทำตามขั้นตอนต่อไป
ขั้นตอนที่ 2 คูณสมการด้วยหนึ่งเพื่อลบตัวแปรหนึ่งตัว
(ข้ามขั้นตอนนี้ไปหากตัวแปรได้หักล้างกันไปแล้ว) ถ้าสมการไม่มีตัวแปรที่หักล้างกันเอง ให้เปลี่ยนสมการใดสมการหนึ่งเพื่อให้สามารถหักล้างกันได้ ดูตัวอย่างต่อไปนี้เพื่อให้คุณเข้าใจได้ง่าย:
- สมการในโจทย์คือ 3x - y = 3 และ - x + 2y = 4.
- ลองเปลี่ยนสมการแรกเพื่อให้ตัวแปร y ยกเลิกซึ่งกันและกัน (คุณอาจใช้ตัวแปร NS. คำตอบสุดท้ายที่ได้รับจะเหมือนกัน)
- ตัวแปร - y ในสมการแรกจะต้องถูกกำจัดโดย + 2 ปี ในสมการที่สอง วิธีการคูณ - y กับ 2.
- คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 2 ดังนี้ 2(3x - y)=2(3), ดังนั้น 6x - 2y = 6. ตอนนี้เผ่า - 2 ปี จะยกเลิกกันด้วย +2ปี ในสมการที่สอง
ขั้นตอนที่ 3 รวมสมการทั้งสองเข้าด้วยกัน
เคล็ดลับคือการเพิ่มด้านขวาของสมการแรกไปทางด้านขวาของสมการที่สอง และเพิ่มด้านซ้ายของสมการแรกไปทางด้านซ้ายของสมการที่สอง หากทำถูกต้อง ตัวแปรตัวใดตัวหนึ่งจะยกเลิกกัน ลองทำการคำนวณต่อจากตัวอย่างก่อนหน้านี้:
- สมการทั้งสองของคุณคือ 6x - 2y = 6 และ - x + 2y = 4.
- บวกด้านซ้ายของสมการทั้งสอง: 6x - 2y - x + 2y = ?
- บวกด้านขวาของสมการทั้งสอง: 6x - 2y - x + 2y = 6 + 4.
ขั้นตอนที่ 4 รับค่าตัวแปรสุดท้าย
ลดความซับซ้อนของสมการผสมของคุณ และทำงานกับพีชคณิตมาตรฐานเพื่อให้ได้ค่าของตัวแปรตัวสุดท้าย หากหลังจากลดรูปแล้ว สมการไม่มีตัวแปร ให้ทำตามขั้นตอนสุดท้ายในส่วนนี้
มิฉะนั้น คุณจะได้รับค่าสำหรับตัวแปรตัวใดตัวหนึ่ง ตัวอย่างเช่น:
- เป็นที่รู้จัก 6x - 2y - x + 2y = 6 + 4.
- ตัวแปรกลุ่ม NS และ y ด้วยกัน: 6x - x - 2y + 2y = 6 + 4.
- ลดความซับซ้อนของสมการ: 5x = 10
- ค้นหาค่า x: (5x)/5 = 10/5, ที่จะได้รับ x = 2.
ขั้นตอนที่ 5. ค้นหาค่าของตัวแปรอื่น
คุณพบค่าของตัวแปรตัวหนึ่งแล้ว แต่อีกตัวหนึ่งล่ะ แทนคำตอบของคุณในสมการใดสมการหนึ่งเพื่อค้นหาค่าของตัวแปรที่เหลือ ตัวอย่างเช่น:
- เป็นที่รู้จัก x = 2 และสมการหนึ่งในโจทย์คือ 3x - y = 3.
- แทนที่ตัวแปร x ด้วย 2: 3(2) - y = 3.
- ค้นหาค่าของ y ในสมการ: 6 - y = 3
- 6 - y + y = 3 + y, ดังนั้น 6 = 3 + y
- 3 = y
ขั้นตอนที่ 6. รู้ว่าต้องทำอย่างไรเมื่อทั้งสองตัวแปรหักล้างกัน
บางครั้ง การรวมสมการสองสมการเข้าด้วยกันจะทำให้เกิดสมการที่ไม่สมเหตุสมผลหรือไม่ช่วยแก้ปัญหาได้ ทบทวนงานของคุณ และหากคุณแน่ใจว่าไม่ได้ทำผิด ให้เขียนคำตอบข้อใดข้อหนึ่งต่อไปนี้:
- ถ้าสมการรวมไม่มีตัวแปรและไม่เป็นจริง (เช่น 2 = 7) ปัญหานี้ ไม่มีคำตอบ. คำตอบนี้ใช้กับสมการทั้งสอง (เมื่อสร้างกราฟ สมการทั้งสองนี้จะขนานกันและไม่บรรจบกัน)
- ถ้าสมการรวมไม่มีตัวแปรและ ถูกต้อง, (เช่น 0 = 0) หมายความว่าคำถามมี ไม่จำกัดคำตอบ. สมการทั้งสองนี้เหมือนกัน (เมื่อวาดกราฟแล้ว สมการทั้งสองนี้จะเป็นเส้นเดียวกัน)
วิธีที่ 3 จาก 3: วาดกราฟสมการ
ขั้นตอนที่ 1 ทำตามขั้นตอนนี้เมื่อได้รับคำแนะนำเท่านั้น
เว้นแต่ว่าคุณกำลังใช้คอมพิวเตอร์หรือเครื่องคำนวณกราฟ วิธีการนี้สามารถให้คำตอบโดยประมาณเท่านั้น ครูหรือหนังสือเรียนของคุณอาจบอกให้คุณใช้วิธีนี้เพื่อสร้างนิสัยในการวาดสมการเป็นเส้น วิธีนี้สามารถใช้เพื่อตรวจสอบคำตอบของวิธีใดวิธีหนึ่งข้างต้น
แนวคิดหลักคือคุณต้องอธิบายสมการทั้งสองและหาจุดตัดกัน ค่าของ x และ y ที่จุดตัดนี้คือคำตอบของปัญหา
ขั้นตอนที่ 2 ค้นหาค่า y ของสมการทั้งสอง
อย่ารวมสมการทั้งสองเข้าด้วยกัน และเปลี่ยนสมการแต่ละสมการให้อยู่ในรูปแบบ "y = _x + _" ตัวอย่างเช่น:
- สมการแรกของคุณคือ 2x + y = 5. เปลี่ยนไป y = -2x + 5.
- สมการแรกของคุณคือ - 3x + 6y = 0. เปลี่ยนไป 6y = 3x + 0, และลดความซับซ้อนให้ y = x + 0.
- ถ้าสมการทั้งสองของคุณเหมือนกันทุกประการ เส้นทั้งหมดคือ "จุดตัด" ของสมการทั้งสอง เขียน ไม่จำกัดคำตอบ เป็นคำตอบ
ขั้นตอนที่ 3 วาดแกนพิกัด
วาดเส้นแนวตั้ง "แกน y" และเส้น "แกน x" แนวนอนบนกระดาษกราฟ เริ่มต้นที่จุดที่แกนทั้งสองตัดกัน (0, 0) ให้เขียนป้ายตัวเลข 1, 2, 3, 4 และอื่นๆ ตามลำดับโดยชี้ขึ้นบนแกน y และชี้ไปทางขวาบนแกน x. หลังจากนั้น ให้จดป้ายตัวเลข -1, -2 และอื่นๆ โดยชี้ลงบนแกน y ตามลำดับ และชี้ไปทางซ้ายบนแกน x
- หากคุณไม่มีกระดาษกราฟ ให้ใช้ไม้บรรทัดเพื่อให้แน่ใจว่าระยะห่างระหว่างตัวเลขแต่ละตัวเท่ากันทุกประการ
- หากคุณใช้ตัวเลขหรือทศนิยมจำนวนมาก เราขอแนะนำให้ปรับขนาดกราฟ (เช่น 10, 20, 30 หรือ 0, 1, 0, 2, 0, 3 แทนที่จะเป็น 1, 2, 3)
ขั้นตอนที่ 4 วาดจุดตัดแกน y สำหรับแต่ละสมการ
ถ้าสมการอยู่ในรูป y = _x + _ คุณสามารถเริ่มวาดกราฟโดยกำหนดจุดที่เส้นสมการตัดกับแกน y ค่าของ y จะเท่ากับจำนวนสุดท้ายในสมการเสมอ
-
ต่อจากตัวอย่างก่อนหน้า บรรทัดแรก (y = -2x + 5) ตัดกับแกน y ที่
ขั้นตอนที่ 5. บรรทัดที่สอง (y = x + 0) ตัดกับแกน y ที่ 0. (จุดเหล่านี้เขียนเป็น (0, 5) และ (0, 0) บนกราฟ)
- ถ้าเป็นไปได้ ให้วาดเส้นแรกและเส้นที่สองด้วยปากกาหรือดินสอสีต่างๆ
ขั้นตอนที่ 5. ใช้ความชันเพื่อดำเนินการต่อเส้น
ในรูปแบบสมการ y = _x + _ ตัวเลขที่อยู่ข้างหน้า x หมายถึง "ระดับความชัน" ของเส้น ทุกครั้งที่ x เพิ่มขึ้นหนึ่ง ค่าของ y จะเพิ่มขึ้นตามจำนวนระดับความชัน ใช้ข้อมูลนี้เพื่อค้นหาจุดสำหรับแต่ละเส้นบนกราฟเมื่อ x = 1 (คุณสามารถป้อน x = 1 ในแต่ละสมการและหาค่าของ y ได้)
- ต่อจากตัวอย่างที่แล้ว line y = -2x + 5 มีความชันของ - 2. ที่จุด x = 1 เส้นจะเคลื่อนที่ ลง คูณ 2 จากจุด x = 0 ลากเส้นเชื่อม (0, 5) ด้วย (1, 3)
- เส้น y = x + 0 มีความชันของ ½. ที่ x = 1 เส้นจะเคลื่อนที่ ขี่ จากจุด x=0 ลากเส้นเชื่อมต่อ (0, 0) ด้วย (1,)
- ถ้าเส้นตรงสองเส้นมีความชันเท่ากัน ทั้งสองจะไม่มีวันตัดกัน ดังนั้น ระบบสมการนี้จึงไม่มีคำตอบ เขียน ไม่มีคำตอบ เป็นคำตอบ
ขั้นตอนที่ 6 เชื่อมต่อเส้นต่อไปจนกระทั่งเส้นสองเส้นตัดกัน
หยุดงานและดูกราฟของคุณ หากทั้งสองเส้นตัดกัน ให้ทำตามขั้นตอนต่อไป ถ้าไม่ ให้ตัดสินใจตามตำแหน่งของสองบรรทัดของคุณ:
- หากเส้นสองเส้นเข้าหากัน ให้ต่อจุดของลายทางของคุณต่อไป
- หากเส้นสองเส้นเคลื่อนออกจากกัน ให้ย้อนกลับไปเชื่อมจุดต่าง ๆ ในทิศทางตรงกันข้าม เริ่มต้นที่ x = 1
- หากเส้นสองเส้นห่างกันมาก ให้ลองกระโดดข้ามและเชื่อมจุดที่อยู่ไกลออกไป เช่น x = 10
ขั้นที่ 7. หาคำตอบที่จุดสี่แยก
หลังจากที่เส้นสองเส้นตัดกัน ค่าของ x และ y ณ จุดนั้นคือคำตอบสำหรับปัญหาของคุณ หากคุณโชคดีคำตอบจะเป็นจำนวนเต็ม ตัวอย่างเช่น ในตัวอย่างของเรา เส้นสองเส้นตัดกันที่จุด (2, 1) ดังนั้นคำตอบคือ x = 2 และ y = 1. ในบางระบบของสมการ จุดที่เส้นตัดกันอยู่ระหว่างจำนวนเต็มสองตัว และหากกราฟไม่แม่นยำมาก ก็ยากที่จะระบุว่าค่า x และ y อยู่ที่จุดตัดกันตรงไหน หากได้รับอนุญาต คุณสามารถเขียนคำตอบว่า “x อยู่ระหว่าง 1 ถึง 2” หรือใช้วิธีการทดแทนหรือการตัดออกเพื่อค้นหาคำตอบ
เคล็ดลับ
- คุณสามารถตรวจสอบงานของคุณได้โดยใส่คำตอบลงในสมการเดิม หากสมการเป็นจริง (เช่น 3 = 3) แสดงว่าคำตอบของคุณถูกต้อง
- เมื่อใช้วิธีการตัดออก บางครั้งคุณต้องคูณสมการด้วยจำนวนลบเพื่อให้ตัวแปรสามารถหักล้างกันได้