สมการตรรกยะคือเศษส่วนที่มีตัวแปรตั้งแต่หนึ่งตัวขึ้นไปในตัวเศษหรือตัวส่วน สมการตรรกยะคือเศษส่วนใดๆ ที่เกี่ยวข้องกับสมการตรรกยะอย่างน้อยหนึ่งสมการ เช่นเดียวกับสมการพีชคณิตทั่วไป สมการตรรกยะจะได้รับการแก้ไขโดยดำเนินการแบบเดียวกันทั้งสองข้างของสมการ จนกว่าตัวแปรจะถูกถ่ายโอนไปยังด้านใดด้านหนึ่งของสมการ เทคนิคพิเศษสองวิธี คือ การคูณไขว้และการหาตัวส่วนร่วมน้อยที่สุด เป็นวิธีที่มีประโยชน์มากในการย้ายตัวแปรและแก้สมการตรรกยะ
ขั้นตอน
วิธีที่ 1 จาก 2: การคูณข้าม
ขั้นตอนที่ 1 หากจำเป็น ให้จัดเรียงสมการใหม่เพื่อให้ได้เศษส่วนอยู่ด้านหนึ่งของสมการ
การคูณไขว้เป็นวิธีที่ง่ายและรวดเร็วในการแก้สมการตรรกยะ น่าเสียดายที่วิธีนี้ใช้ได้กับสมการตรรกยะที่มีสมการหรือเศษส่วนอย่างน้อยหนึ่งสมการในแต่ละข้างของสมการเท่านั้น ถ้าสมการของคุณไม่ตรงตามข้อกำหนดผลคูณไขว้เหล่านี้ คุณอาจต้องใช้การดำเนินการเกี่ยวกับพีชคณิตเพื่อย้ายส่วนต่างๆ ไปยังตำแหน่งที่ถูกต้อง
-
ตัวอย่างเช่น สมการ (x + 3)/4 - x/(-2) = 0 สามารถใส่ลงในรูปผลคูณไขว้ได้โดยง่ายโดยเติม x/(-2) ทั้งสองข้างของสมการ จะได้เป็น (x + 3)/4 = x/(-2)
โปรดทราบว่าทศนิยมและจำนวนเต็มสามารถแปลงเป็นเศษส่วนได้โดยให้ตัวส่วน 1 (x + 3)/4 – 2, 5 = 5 เช่น สามารถเขียนใหม่เป็น (x + 3)/4 = 7, 5/ 1 ทำให้เป็นไปตามเงื่อนไขการคูณไขว้
- ไม่สามารถลดสมการตรรกยะบางสมการให้อยู่ในรูปแบบที่มีเศษส่วนหรือสมการตรรกยะเพียงข้างเดียวได้ง่ายๆ ในกรณีเช่นนี้ ให้ใช้วิธีการตัวส่วนน้อยที่สุดแบบเดียวกัน
ขั้นตอนที่ 2 คูณข้าม
การคูณไขว้ หมายถึง การคูณตัวเศษของเศษส่วนตัวใดตัวหนึ่งด้วยตัวส่วนของเศษส่วนอีกตัวหนึ่ง และในทางกลับกัน คูณตัวเศษของเศษส่วนทางด้านซ้ายด้วยตัวส่วนของเศษส่วนทางด้านขวา ทำซ้ำกับตัวส่วนด้านขวากับตัวส่วนด้านซ้าย
การคูณไขว้ทำงานตามหลักพีชคณิตพื้นฐาน สมการตรรกยะและเศษส่วนอื่นๆ สามารถทำเป็นเศษส่วนได้โดยการคูณด้วยตัวส่วน ผลคูณไขว้นั้นเป็นวิธีที่รวดเร็วในการคูณทั้งสองข้างของสมการด้วยตัวส่วนทั้งสอง ไม่เชื่อ? ลองดูสิ คุณจะได้ผลลัพธ์เหมือนเดิมหลังจากทำให้ง่ายขึ้น
ขั้นตอนที่ 3 ทำให้ผลิตภัณฑ์ทั้งสองมีค่าเท่ากัน
หลังจากการคูณไขว้ คุณจะได้ผลลัพธ์การคูณสอง ทำให้เท่ากันและลดความซับซ้อนเพื่อให้สมการง่ายที่สุด
ตัวอย่างเช่น ถ้าสมการตรรกยะเดิมของคุณคือ (x+3)/4 = x/(-2) หลังจากการคูณไขว้ สมการใหม่ของคุณจะกลายเป็น -2(x+3) = 4x หากต้องการ คุณยังสามารถเขียนเป็น -2x - 6 = 4x ได้ด้วย
ขั้นตอนที่ 4 ค้นหาค่าของตัวแปรของคุณ
ใช้การดำเนินการเกี่ยวกับพีชคณิตเพื่อค้นหาค่าของตัวแปรสมการของคุณ จำไว้ว่า ถ้า x ปรากฏบนทั้งสองข้างของสมการ คุณต้องบวกหรือลบ x จากทั้งสองข้างของสมการเพื่อปล่อยให้ x อยู่ด้านเดียวของสมการ
ในตัวอย่างของเรา เราสามารถหารสมการทั้งสองข้างด้วย -2 ดังนั้น x+3 = -2x การลบ x จากทั้งสองข้างให้ 3 = -3x สุดท้าย โดยการหารทั้งสองข้างด้วย -3 ผลลัพธ์จะกลายเป็น -1 = x ซึ่งเขียนได้เป็น x = -1 เราหาค่าของ x แล้ว แก้สมการตรรกยะ
วิธีที่ 2 จาก 2: การหาตัวส่วนร่วมน้อยที่สุด
ขั้นตอนที่ 1. รู้เวลาที่แน่นอนเพื่อใช้ตัวหารที่เล็กที่สุดเดียวกัน
สามารถใช้ตัวหารที่เล็กที่สุดเดียวกันเพื่อทำให้สมการตรรกยะง่ายขึ้น ทำให้สามารถค้นหาค่าตัวแปรได้ การหาตัวส่วนร่วมน้อยที่สุดเป็นความคิดที่ดี ถ้าสมการตรรกยะของคุณไม่สามารถเขียนในรูปเศษส่วนเพียงส่วนเดียว (และเศษส่วนเดียวเท่านั้น) ในแต่ละข้างของสมการได้ง่ายๆ สำหรับการแก้สมการตรรกยะที่มีสามส่วนขึ้นไป ตัวส่วนร่วมน้อยจะมีประโยชน์ อย่างไรก็ตาม ในการแก้สมการตรรกยะที่มีเพียงสองส่วน จะใช้ผลคูณไขว้ได้เร็วกว่า
ขั้นตอนที่ 2 ตรวจสอบตัวส่วนของเศษส่วนแต่ละส่วน
ระบุจำนวนที่น้อยที่สุดที่ตัวส่วนแต่ละตัวสามารถหารและสร้างจำนวนเต็มได้ ตัวเลขนี้เป็นตัวส่วนร่วมน้อยที่สุดสำหรับสมการของคุณ
- บางครั้งตัวส่วนร่วมที่เล็กที่สุด – นั่นคือ จำนวนที่น้อยที่สุดที่มีตัวประกอบทั้งหมดในตัวส่วน – จะมองเห็นได้ชัดเจน ตัวอย่างเช่น หากสมการของคุณคือ x/3 + 1/2 = (3x+1)/6 ก็ไม่ยากที่จะเห็นจำนวนที่น้อยที่สุดที่มีตัวประกอบเป็น 3, 2 และ 6 ซึ่งเป็นตัวเลข 6
- อย่างไรก็ตาม บ่อยครั้ง ตัวส่วนร่วมน้อยที่สุดของสมการตรรกยะไม่สามารถมองเห็นได้ชัดเจน ในกรณีเช่นนี้ ให้ลองตรวจสอบการคูณของตัวหารที่มากกว่าจนกว่าคุณจะพบจำนวนที่มีตัวประกอบของตัวหารที่น้อยกว่าทั้งหมด บ่อยครั้ง ตัวส่วนร่วมน้อยที่สุดเป็นผลคูณของตัวส่วนสองตัว ตัวอย่างเช่น ในสมการ x/8 + 2/6 = (x-3)/9 ตัวส่วนร่วมน้อยที่สุดคือ 8*9 = 72
- หากตัวส่วนของเศษส่วนของคุณหนึ่งตัวหรือมากกว่ามีตัวแปร กระบวนการนี้ยากกว่าแต่ก็สามารถทำได้ ในกรณีเช่นนี้ ตัวส่วนร่วมน้อยที่สุดคือสมการ (พร้อมตัวแปร) ที่ตัวส่วนอื่นหารลงตัวทั้งหมด ตัวอย่างเช่น ในสมการ 5/(x-1) = 1/x + 2/(3x) ตัวส่วนร่วมน้อยที่สุดคือ 3x(x-1) เพราะตัวส่วนใดๆ สามารถหารมันได้ – หารด้วย (x-1) ให้ 3x หารด้วย 3x ให้ (x-1) และหารด้วย x ให้ 3(x-1)
ขั้นตอนที่ 3 คูณเศษส่วนแต่ละส่วนในสมการตรรกยะด้วย 1
การคูณแต่ละส่วนด้วย 1 ดูเหมือนจะไร้ประโยชน์ แต่นี่คือเคล็ดลับ 1 สามารถกำหนดเป็นตัวเลขใดๆ ที่เหมือนกันได้ทั้งในตัวเศษและส่วน เช่น -2/2 และ 3/3 ซึ่งเป็นวิธีที่ถูกต้องในการเขียน 1 วิธีนี้ใช้ประโยชน์จากคำจำกัดความทางเลือก คูณเศษส่วนแต่ละส่วนในสมการตรรกยะด้วย 1 แล้วเขียนเลข 1 ซึ่งเมื่อคูณด้วยตัวส่วนจะได้ตัวส่วนร่วมที่เล็กที่สุด
- ในตัวอย่างพื้นฐาน เราจะคูณ x/3 ด้วย 2/2 เพื่อให้ได้ 2x/6 และคูณ 1/2 ด้วย 3/3 เพื่อให้ได้ 3/6 2x + 1/6 มีส่วนที่เล็กที่สุดเหมือนกันอยู่แล้ว ซึ่งก็คือ 6 เราจึงคูณมันด้วย 1/1 หรือปล่อยไว้เฉยๆ ก็ได้
- ในตัวอย่างของเราที่มีตัวแปรเป็นตัวส่วนของเศษส่วน กระบวนการนี้ซับซ้อนกว่าเล็กน้อย เนื่องจากตัวส่วนน้อยที่สุดของเราคือ 3x(x-1) เราจึงคูณสมการตรรกยะแต่ละสมการด้วยค่าที่ส่งกลับ 3x(x-1) เราจะคูณ 5/(x-1) ด้วย (3x)/(3x) ซึ่งให้ 5(3x)/(3x)(x-1) คูณ 1/x ด้วย 3(x-1)/3(x- 1) ซึ่งให้ 3(x-1)/3x(x-1) และคูณ 2/(3x) ด้วย (x-1)/(x-1) ให้ 2(x-1)/3x(x- 1).
ขั้นตอนที่ 4 ลดความซับซ้อนและค้นหาค่าของ x
ตอนนี้ เนื่องจากทุกส่วนของสมการตรรกยะของคุณมีตัวส่วนเหมือนกัน คุณจึงสามารถเอาตัวส่วนออกจากสมการและแก้หาตัวเศษได้ คูณทั้งสองข้างของสมการเพื่อให้ได้ค่าตัวเศษ จากนั้น ใช้การดำเนินการเกี่ยวกับพีชคณิตเพื่อหาค่าของ x (หรือตัวแปรใดๆ ที่คุณต้องการแก้) ที่ด้านหนึ่งของสมการ
- ในตัวอย่างพื้นฐานของเรา หลังจากคูณส่วนทั้งหมดด้วยรูปแบบทางเลือก 1 เราจะได้ 2x/6 + 3/6 = (3x+1)/6 เศษส่วนสองส่วนสามารถเพิ่มได้หากมีตัวส่วนเท่ากัน เราจึงสามารถลดสมการนี้เป็น (2x+3)/6 = (3x+1)/6 ได้โดยไม่ต้องเปลี่ยนค่า คูณทั้งสองข้างด้วย 6 เพื่อเอาตัวส่วนออก ดังนั้นผลลัพธ์ที่ได้คือ 2x+3 = 3x+1 ลบ 1 จากทั้งสองข้างเพื่อให้ได้ 2x+2 = 3x และลบ 2x จากทั้งสองข้างเพื่อให้ได้ 2 = x ซึ่งสามารถเขียนได้เป็น x = 2
- ในตัวอย่างที่มีตัวแปรในตัวส่วน สมการของเราหลังจากคูณด้วย 1 จะกลายเป็น 5(3x)/(3x)(x-1) = 3(x-1)/3x(x-1) + 2(x-1)) /3x(x-1). การคูณส่วนทั้งหมดด้วยตัวหารที่เล็กที่สุดเดียวกัน ทำให้ไม่ต้องใส่ตัวส่วน กลายเป็น 5(3x) = 3(x-1) + 2(x-1) นอกจากนี้ยังใช้กับ 5x = 3x - 3 + 2x -2 ซึ่งลดความซับซ้อนเป็น 15x = x - 5 การลบ x จากทั้งสองข้างจะได้ 14x = -5 ซึ่งสุดท้ายลดรูปเป็น x = -5/14
เคล็ดลับ
- เมื่อคุณแก้ตัวแปรได้แล้ว ให้ตรวจคำตอบโดยแทนค่าของตัวแปรลงในสมการเดิม หากค่าตัวแปรของคุณถูกต้อง คุณสามารถทำให้สมการเดิมของคุณง่ายขึ้นเป็นคำสั่งง่ายๆ ที่เท่ากับ 1 = 1 เสมอ
- โปรดทราบว่าคุณสามารถเขียนพหุนามใดๆ เป็นสมการตรรกยะได้ วางไว้เหนือตัวส่วน 1. ดังนั้น x+3 และ (x+3)/1 มีค่าเท่ากัน แต่สมการที่สองสามารถจัดเป็นสมการตรรกยะได้เพราะเขียนเป็นเศษส่วน
