3 วิธีในการลดความซับซ้อนของนิพจน์พีชคณิต

2024 ผู้เขียน: Jason Gerald | [email protected]. แก้ไขล่าสุด: 2024-01-15 08:25

การเรียนรู้วิธีลดความซับซ้อนของนิพจน์พีชคณิตเป็นหนึ่งในกุญแจสำคัญในการเรียนรู้พีชคณิตพื้นฐานและเป็นเครื่องมือที่มีประโยชน์ที่สุดที่นักคณิตศาสตร์ต้องมี การทำให้เข้าใจง่ายช่วยให้นักคณิตศาสตร์แปลงนิพจน์ที่ซับซ้อน ยาว และ/หรือคี่เป็นนิพจน์ที่เทียบเท่าที่ง่ายกว่าหรือง่ายกว่า ทักษะการทำให้เข้าใจง่ายขั้นพื้นฐานนั้นเรียนรู้ได้ง่ายมาก แม้กระทั่งสำหรับผู้ที่เกลียดวิชาคณิตศาสตร์ ด้วยการทำตามขั้นตอนง่ายๆ ไม่กี่ขั้นตอน เป็นไปได้ที่จะลดความซับซ้อนของนิพจน์เกี่ยวกับพีชคณิตหลายประเภทที่ใช้บ่อยที่สุด โดยไม่ต้องใช้ความรู้พิเศษใดๆ เกี่ยวกับคณิตศาสตร์ ตรวจสอบขั้นตอนที่ 1 เพื่อเริ่มต้น!

ขั้นตอน

การทำความเข้าใจแนวคิดที่สำคัญ

ขั้นตอนที่ 1 จัดกลุ่มคำที่เหมือนกันตามตัวแปรและกำลัง

ในพีชคณิต พจน์ที่เหมือนกันมีการกำหนดค่าตัวแปรเหมือนกัน โดยมีกำลังเท่ากัน กล่าวอีกนัยหนึ่งสำหรับสองพจน์ที่เท่ากันนั้นจะต้องมีตัวแปรเหมือนกันหรือไม่มีตัวแปรเลยและตัวแปรแต่ละตัวมีกำลังเท่ากันหรือไม่มีเลขชี้กำลัง ลำดับของตัวแปรในแง่ไม่สำคัญ

ตัวอย่างเช่น 3x² และ 4x² ก็เหมือนพจน์เพราะทั้งคู่มีตัวแปร x ยกกำลังสอง อย่างไรก็ตาม x และ x² ไม่เหมือนพจน์เพราะแต่ละเทอมมีตัวแปร x ที่มีกำลังต่างกัน เกือบจะเหมือนกัน -3yx และ 5xz ไม่เหมือนกันเพราะแต่ละเทอมมีตัวแปรต่างกัน

ขั้นที่ 2. ตัวประกอบ โดยการเขียนตัวเลขเป็นผลคูณของตัวประกอบทั้งสอง

การแยกตัวประกอบเป็นแนวคิดของการเขียนตัวเลขที่กำหนดเป็นผลคูณของสองปัจจัยที่ถูกคูณ ตัวเลขสามารถมีตัวประกอบได้มากกว่าหนึ่งชุด ตัวอย่างเช่น 12 สามารถหาได้จาก 1 × 12, 2 × 6 และ 3 × 4 ดังนั้นเราจึงสามารถพูดได้ว่า 1, 2, 3, 4, 6 และ 12 เป็นปัจจัย อีกวิธีในการจินตนาการก็คือ ตัวประกอบของจำนวนหนึ่งคือจำนวนที่หารจำนวนเต็ม

• ตัวอย่างเช่น หากเราต้องการแยกตัวประกอบ 20 เราก็เขียนเป็น 4 × 5.
• โปรดทราบว่าเงื่อนไขตัวแปรสามารถแยกตัวประกอบได้ -20x ตัวอย่างเช่น สามารถเขียนเป็น 4(5x).
• จำนวนเฉพาะไม่สามารถแยกตัวประกอบได้เนื่องจากสามารถหารด้วยตัวเองกับ 1 เท่านั้น

ขั้นตอนที่ 3 ใช้ตัวย่อ KaPaK BoTaK เพื่อจดจำลำดับของการดำเนินการ

บางครั้ง การลดความซับซ้อนของนิพจน์ก็จะช่วยแก้การดำเนินการในสมการได้จนกว่าจะใช้ไม่ได้อีกต่อไป ในกรณีเหล่านี้ สิ่งสำคัญคือต้องจำลำดับของการดำเนินการเพื่อไม่ให้เกิดข้อผิดพลาดทางคณิตศาสตร์ ตัวย่อ KaPaK BoTaK จะช่วยให้คุณจำลำดับของการดำเนินการได้ – ตัวอักษรระบุประเภทของการดำเนินการที่คุณควรดำเนินการตามลำดับ:

• K ล้มเหลว
• NS ยก
• Kali
• NS อีกครั้ง
• NS เพิ่ม
• K กุ้ง

วิธีที่ 1 จาก 3: รวมเงื่อนไขการชอบ

ขั้นตอนที่ 1. เขียนสมการของคุณ

สมการพีชคณิตที่ง่ายที่สุด ซึ่งเกี่ยวข้องกับเงื่อนไขตัวแปรเพียงไม่กี่ตัวที่มีสัมประสิทธิ์จำนวนเต็มและไม่มีเศษส่วน ราก ฯลฯ สามารถแก้ไขได้ในไม่กี่ขั้นตอน สำหรับปัญหาทางคณิตศาสตร์ส่วนใหญ่ ขั้นตอนแรกในการทำให้สมการของคุณง่ายขึ้นคือการเขียนลงไป!

เป็นตัวอย่างปัญหา สำหรับขั้นตอนต่อไป เราใช้นิพจน์ 1 + 2x - 3 + 4x.

ขั้นตอนที่ 2 ระบุเผ่าที่คล้ายกัน

ต่อไป ให้มองหาพจน์ที่คล้ายกันในสมการของคุณ โปรดจำไว้ว่าเงื่อนไขที่เหมือนกันมีตัวแปรและเลขชี้กำลังเหมือนกัน

ตัวอย่างเช่น ลองระบุพจน์ที่คล้ายกันในสมการ 1 + 2x – 3 + 4x 2x และ 4x มีตัวแปรเดียวกันที่มีกำลังเท่ากัน (ในกรณีนี้ x ไม่มีเลขชี้กำลัง) นอกจากนี้ 1 และ -3 ก็เหมือนกับพจน์เพราะไม่มีตัวแปร ดังนั้นในสมการของเรา 2x และ 4x และ 1 และ -3 เป็นชนเผ่าที่คล้ายคลึงกัน

ขั้นตอนที่ 3 รวมเงื่อนไขที่คล้ายกัน

เมื่อคุณได้ระบุพจน์ที่คล้ายกันแล้ว คุณสามารถรวมพวกมันเพื่อทำให้สมการของคุณง่ายขึ้นได้ เพิ่มเงื่อนไข (หรือลบในกรณีของเงื่อนไขเชิงลบ) เพื่อลดชุดของเงื่อนไขที่มีตัวแปรเดียวกันและเลขชี้กำลังให้เป็นหนึ่งพจน์ที่เท่ากัน

• มาเติมคำที่คล้ายกันในตัวอย่างของเรา

  • 2x + 4x = 6x
  • 1 + -3 = - 2

ขั้นตอนที่ 4 สร้างสมการที่ง่ายกว่าจากเงื่อนไขที่ง่ายขึ้น

หลังจากรวมพจน์ที่คล้ายกันแล้ว ให้สร้างสมการจากชุดคำศัพท์ใหม่ที่เล็กกว่า คุณจะได้สมการที่ง่ายกว่า ซึ่งมีหนึ่งเทอมสำหรับชุดตัวแปรและกำลังที่ต่างกันในสมการดั้งเดิม สมการใหม่นี้เทียบเท่ากับสมการเดิม

ในตัวอย่างของเรา พจน์ตัวย่อของเราคือ 6x และ -2 ดังนั้นสมการใหม่ของเราคือ 6x - 2. สมการง่ายๆ นี้เทียบเท่ากับสมการดั้งเดิม (1 + 2x - 3 + 4x) แต่จะสั้นกว่าและใช้งานได้ง่ายกว่า นอกจากนี้ยังง่ายต่อการแยกตัวประกอบ ซึ่งเราจะดูที่ด้านล่าง ซึ่งเป็นทักษะที่ทำให้เข้าใจง่ายที่สำคัญอีกอย่างหนึ่ง

ขั้นตอนที่ 5. ทำตามลำดับการดำเนินการเมื่อรวมเงื่อนไขที่คล้ายกัน

ในสมการง่ายๆ อย่างที่เราดำเนินการในปัญหาตัวอย่างด้านบน การระบุเงื่อนไขที่คล้ายกันนั้นง่าย อย่างไรก็ตาม ในสมการที่ซับซ้อนมากขึ้น เช่น นิพจน์ที่เกี่ยวข้องกับพจน์ในวงเล็บ เศษส่วน และราก เช่น พจน์ที่สามารถรวมกันได้อาจไม่สามารถมองเห็นได้ชัดเจน ในกรณีเหล่านี้ ให้ทำตามคำสั่งของการดำเนินการ ดำเนินการกับเงื่อนไขในนิพจน์ของคุณตามความจำเป็นจนกว่าการดำเนินการบวกและลบจะยังคงอยู่

• ตัวอย่างเช่น ลองใช้สมการ 5(3x-1) + x((2x)/(2)) + 8 - 3x คงจะผิดที่จะพิจารณาทันทีว่า 3x และ 2x เป็นพจน์ที่เหมือนกันและรวมเข้าด้วยกันเพราะวงเล็บในนิพจน์ระบุว่าเราต้องดำเนินการอย่างอื่นก่อน อันดับแรก เราดำเนินการเลขคณิตกับนิพจน์ในลำดับของการดำเนินการเพื่อรับเงื่อนไขที่เราสามารถใช้ได้ ดูสิ่งต่อไปนี้:

  • 5(3x-1) + x((2x)/(2)) + 8 - 3x
  • 15x - 5 + x(x) + 8 - 3x
  • 15x - 5 + x² +8 - 3x ตอนนี้ เนื่องจากการดำเนินการที่เหลือเพียงอย่างเดียวคือการบวกและการลบ เราจึงสามารถรวมพจน์ที่คล้ายกันได้
  • NS² + (15x - 3x) + (8 - 5)
  • NS² + 12x + 3

วิธีที่ 2 จาก 3: แฟคตอริ่ง

ขั้นตอนที่ 1 ระบุปัจจัยร่วมที่ยิ่งใหญ่ที่สุดในนิพจน์

การแยกตัวประกอบเป็นวิธีที่ทำให้นิพจน์ง่ายขึ้นโดยเอาปัจจัยที่เหมือนกันในทุกคำที่เหมือนกันในนิพจน์ออก ในการเริ่มต้น ให้ค้นหาตัวประกอบร่วมที่ยิ่งใหญ่ที่สุดที่มีเงื่อนไขทั้งหมด กล่าวคือ จำนวนที่มากที่สุดที่หารเงื่อนไขทั้งหมดในนิพจน์ทั้งหมด

• ลองใช้ 9x สมกัน² + 27x - 3 สังเกตว่าทุกเทอมในสมการนี้หารด้วย 3 ลงตัว เนื่องจากพจน์หารด้วยจำนวนที่มากกว่านั้นไม่ลงตัว เราจึงพูดได้ว่า

  ขั้นตอนที่ 3 เป็นปัจจัยร่วมที่ยิ่งใหญ่ที่สุดของเรา

ขั้นตอนที่ 2 แบ่งเงื่อนไขในนิพจน์ด้วยตัวประกอบร่วมที่ยิ่งใหญ่ที่สุด

ต่อไป ให้หารแต่ละเทอมในสมการของคุณด้วยตัวประกอบร่วมที่ยิ่งใหญ่ที่สุดที่คุณเพิ่งพบ เงื่อนไขผลหารจะมีสัมประสิทธิ์น้อยกว่าสมการเดิม

• ลองแยกตัวประกอบสมการของเราด้วยตัวประกอบร่วมมากที่สุด 3 ตัว ในการทำสิ่งนี้ เราจะหารแต่ละเทอมด้วย 3

  • 9x²/3 = 3x²
  • 27x/3 = 9x
  • -3/3 = -1
  • ดังนั้น นิพจน์ใหม่ของเราคือ 3x² + 9x - 1.

ขั้นตอนที่ 3 เขียนนิพจน์ของคุณเป็นผลคูณของตัวประกอบร่วมที่ยิ่งใหญ่ที่สุดคูณด้วยเงื่อนไขที่เหลือ

นิพจน์ใหม่ของคุณไม่เทียบเท่ากับนิพจน์เดิมของคุณ ดังนั้นจึงไม่ถูกต้องที่จะกล่าวว่านิพจน์นั้นถูกทำให้ง่ายขึ้น ในการทำให้นิพจน์ใหม่ของเรามีค่าเท่ากับต้นฉบับ เราต้องรวมข้อเท็จจริงที่ว่านิพจน์ของเราถูกหารด้วยปัจจัยร่วมที่ยิ่งใหญ่ที่สุด ใส่นิพจน์ใหม่ของคุณในวงเล็บและเขียนตัวประกอบร่วมที่ยิ่งใหญ่ที่สุดของสมการดั้งเดิมเป็นค่าสัมประสิทธิ์นิพจน์ในวงเล็บ

สำหรับสมการตัวอย่างของเรา 3x² + 9x - 1 เราสามารถใส่นิพจน์ในวงเล็บแล้วคูณด้วยตัวประกอบร่วมที่ยิ่งใหญ่ที่สุดของสมการดั้งเดิมเพื่อให้ได้ 3(3x² + 9x - 1). สมการนี้เทียบเท่ากับสมการเดิมคือ 9x² +27x - 3

ขั้นตอนที่ 4 ใช้แฟคตอริ่งเพื่อทำให้เศษส่วนง่ายขึ้น

ตอนนี้ คุณอาจสงสัยว่าเหตุใดจึงใช้การแยกตัวประกอบ แม้ว่าหลังจากลบปัจจัยร่วมที่ยิ่งใหญ่ที่สุดแล้ว นิพจน์ใหม่ยังต้องคูณด้วยปัจจัยนั้นอีกครั้ง ในความเป็นจริง แฟคตอริ่งช่วยให้นักคณิตศาสตร์ใช้เทคนิคต่างๆ เพื่อทำให้นิพจน์ง่ายขึ้น เทคนิคที่ง่ายที่สุดวิธีหนึ่งของเขาใช้ประโยชน์จากข้อเท็จจริงที่ว่าการคูณตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนด้วยจำนวนเดียวกันสามารถสร้างเศษส่วนที่เท่ากันได้ ดูสิ่งต่อไปนี้:

• พูดตัวอย่างนิพจน์เริ่มต้นของเรา 9x² + 27x - 3 คือปริมาณของเศษส่วนที่มากกว่าโดยมี 3 เป็นตัวเศษ เศษส่วนจะมีลักษณะดังนี้: (9x² +27x - 3)/3. เราสามารถใช้แฟคตอริ่งเพื่อทำให้เศษส่วนง่ายขึ้น

  • เรามาแทนที่รูปแบบแฟคตอริ่งของนิพจน์ดั้งเดิมของเราสำหรับนิพจน์ในตัวเศษ: (3(3x.)² + 9x - 1))/3
  • ขอให้สังเกตว่าตอนนี้ทั้งตัวเศษและตัวส่วนมีสัมประสิทธิ์เป็น 3 หารตัวเศษและตัวส่วนด้วย 3 เราจะได้: (3x² + 9x - 1)/1.
  • เนื่องจากเศษส่วนใดๆ ที่มีตัวส่วนเป็น 1 นั้นเทียบเท่ากับพจน์ในตัวเศษ เราจึงกล่าวได้ว่าเศษส่วนเริ่มต้นของเราสามารถแปลงเป็น 3x² + 9x - 1.

วิธีที่ 3 จาก 3: การใช้ทักษะการทำให้เข้าใจง่ายเพิ่มเติม

ขั้นตอนที่ 1 ลดความซับซ้อนของเศษส่วนโดยหารด้วยตัวประกอบเดียวกัน

ดังที่กล่าวไว้ข้างต้น หากตัวเศษและตัวส่วนของสมการมีตัวประกอบเหมือนกัน ตัวประกอบเหล่านี้สามารถละเว้นในเศษส่วนได้ บางครั้ง จะต้องมีการแยกตัวประกอบในตัวเศษ ตัวส่วน หรือทั้งสองอย่าง (ตามกรณีในปัญหาตัวอย่างด้านบน) ในขณะที่บางครั้งปัจจัยเดียวกันมักจะชัดเจน โปรดทราบว่า เป็นไปได้ที่จะแบ่งเงื่อนไขของตัวเศษด้วยสมการในตัวส่วนทีละตัวเพื่อให้ได้นิพจน์ง่ายๆ

• มาลองใช้ตัวอย่างที่ไม่ต้องการแฟคตอริ่งกัน สำหรับเศษส่วน (5x² + 10x + 20)/10 เราสามารถหารแต่ละเทอมในตัวเศษด้วย 10 เพื่อทำให้ง่ายขึ้น แม้ว่าสัมประสิทธิ์จะเป็น 5 ใน 5x² ไม่เกิน 10 ดังนั้น 10 จึงไม่ใช่ปัจจัย

  ถ้าเราทำ เราจะได้ ((5x²)/10) + x + 2 ถ้าเราต้องการ เราสามารถเขียนเทอมแรกเป็น (1/2)x² เราก็จะได้ (1/2)x² +x+2.

ขั้นตอนที่ 2 ใช้ตัวประกอบกำลังสองเพื่อทำให้รากง่ายขึ้น

นิพจน์ภายใต้เครื่องหมายรูทเรียกว่านิพจน์รูท นิพจน์นี้สามารถทำให้ง่ายขึ้นได้โดยการระบุตัวประกอบกำลังสอง (ตัวประกอบที่เป็นกำลังสองของจำนวนเต็ม) และดำเนินการดำเนินการรากที่สองแยกกันเพื่อลบออกจากใต้เครื่องหมายกรณฑ์

• ลองทำตัวอย่างง่ายๆ - (90) หากเราคิดว่า 90 เป็นผลคูณของตัวประกอบสองตัวของมัน นั่นคือ 9 และ 10 เราสามารถหารากที่สองของ 9 ซึ่งเป็นจำนวนเต็ม 3 และลบออกจากเครื่องหมายรากได้ กล่าวอีกนัยหนึ่ง:

  • √(90)
  • √(9 × 10)
  • (√(9) × √(10))
  • 3 × √(10)
  • 3√(10)

ขั้นตอนที่ 3 เพิ่มเลขชี้กำลังเมื่อคูณเลขชี้กำลังสองตัว ลบเมื่อหาร

นิพจน์พีชคณิตบางนิพจน์ต้องการการคูณหรือหารเทอมกำลัง แทนที่จะคำนวณหรือหารเลขชี้กำลังแต่ละตัวด้วยตนเอง เพียงเพิ่มเลขชี้กำลังเมื่อคูณและลบเมื่อหารเพื่อประหยัดเวลา แนวคิดนี้ยังสามารถใช้เพื่อลดความซับซ้อนของนิพจน์ตัวแปร

• ตัวอย่างเช่น ลองใช้นิพจน์ 6x³ × 8x⁴ + (x¹⁷/NS¹⁵). ในกรณีที่จำเป็นต้องคูณหรือหารเลขชี้กำลัง เราจะลบหรือบวกเลขชี้กำลังตามลำดับ เพื่อค้นหาคำศัพท์อย่างง่ายอย่างรวดเร็ว ดูสิ่งต่อไปนี้:

  • 6x³ × 8x⁴ + (x¹⁷/NS¹⁵)
  • (6 × 8)x^{3 + 4} + (x^{17 - 15})
  • 48x⁷ +x²

• สำหรับคำอธิบายเกี่ยวกับวิธีการทำงาน ดูด้านล่าง:

  • การคูณพจน์ในเลขชี้กำลังก็เหมือนกับการคูณพจน์ที่ไม่ใช่เลขชี้กำลังยาว ตัวอย่างเช่น เนื่องจาก x³ = x × x × x และ x ⁵ = x × x × x × x × x, x³ × x⁵ = (x × x × x) × (x × x × x × x × x) หรือ x⁸.
  • เกือบจะเหมือนกัน การหารเลขชี้กำลังก็เหมือนการหาร ไม่ใช่เลขยกกำลังยาว NS⁵/NS³ = (x × x × x × x × x)/(x × x × x). เนื่องจากแต่ละเทอมในตัวเศษสามารถขีดฆ่าได้โดยการหาพจน์เดียวกันในตัวส่วน จึงเหลือ x สองตัวในตัวเศษ และไม่มีสิ่งใดเหลืออยู่ด้านล่าง ให้คำตอบ x².

เคล็ดลับ

• จำไว้เสมอว่าคุณต้องจินตนาการว่าตัวเลขเหล่านี้มีสัญญาณบวกและลบ หลายคนหยุดคิดว่าจะใส่ Sign อะไรดี?
• ขอความช่วยเหลือหากคุณต้องการ!
• การลดความซับซ้อนของนิพจน์พีชคณิตไม่ใช่เรื่องง่าย แต่เมื่อคุณเข้าใจแล้ว คุณจะใช้มันไปตลอดชีวิต

คำเตือน

• มองหาเผ่าที่คล้ายกันเสมอและอย่าถูกอันดับหลอก
• ตรวจสอบให้แน่ใจว่าคุณไม่ได้ใส่ตัวเลข พลัง หรือการดำเนินการที่ไม่ควรเกิดขึ้นโดยไม่ได้ตั้งใจ